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解 答 4

着眼点

1秒につき4通りの選択があるので、n秒後には、4n通りの道がある。行く着く点への道の数には、規則性がある。それに気付けば解決は近い。

解答例

(1)2秒後に移動可能な点は右図。点とその点への移動の確率を書く。

点(0,0)確率 1/4
点(1,1)確率 1/8
点(1,−1)確率 1/8
点(−1,1)確率 1/8
点(−1,−1)確率 1/8
点(2,0)確率 1/16
点(−2,0)確率 1/16
点(0,2)確率 1/16
点(0,−2)確率 1/16

(2) y=x+k (−3≦k≦3) 上の点として、3秒後に移動可能な点は、k=±3±1 のときで、

  k=3のとき、
    (−3,0),(−2,1),(−1,2),(0,3) の4点。
    それぞれ道の数は、1,3,3,1通りあるので、求める確率は、
      (1+3+3+1)/43=1/8

  K=−3のときも、上と原点対称なので、確率 1/8

  K=1のとき、
    (−2,−1),(−1,0),(0,1),(1,2) の4点。
    それぞれ道の数は3,9,9,3通りあるので、求める確率は、
      (3+9+9+3)/43=3/8

  K=−1のときも、上と原点対称なので、確率 3/8

K=±3のとき、確率 1/8,K=±1のとき、確率3/8,K=0±2のとき 確率0

(3)y=x+k (−n≦k≦n)上の点として、n秒後に移動可能な点は
  k=±n,±(n−2),±(n−4),…

  k=nのとき、
    (−n,0),(−n+1,1),…,(0,n) の(n+1)点
    それぞれの道の数は、
    (nC0nC1+…+nCn)/4n=2n/4n=1/2n

  k=n−2のとき
    (−n+1,−1),(−n+2,0),…,(1,n−1) の(n+1)点
    それぞれの道の数は、nC1×nC0nC1×nC1,…,nC1×nCn 通あるので、
    求める確率は、nC1×(nC0nC1+…+nCn)/4nnC1×2n/4nnC1/2n

一般に、k=n−2r (0≦r≦n) のとき、直線 y=x+k上の点
  (−n+r+l,−r+l) (0≦l≦n) に行く道の数は、nCr×nCl であることを示しておく。

→がa個、←がb個、↑がc個、↓がd個(a+b+c+d=n)の順列の中で
   
を満たすもの数を求めることになる。
上の連立方程式から、a+c=l,b+d=n−l だから、(a+c)個の→と↑の入れ場所の選び方は、nCl 通りある。残りが(b+d)個の←と↓の入る場所である。
また、a+d=r,b+c=n−r なので、nCl 通りの場所選びの各々に対して、(a+d)個の→と↓の場所選びは、nCr 通りずつあるので、求める順列の総数は、
   nCr×nCl
となる。
故に、k=n−2r (0≦r≦n) のとき、求める確率は
   nCr/2n

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