中村文則　様

　拝啓 先生のレポートはいつも興味深く拝見させていただいています．先日は数実研の夏季セミナーでたくさんの面白い話を聞かせていただき有り難うございました．今年の4月から進学でいえば中間レベルの高校に転勤し，先生のレポートはとても参考になりました．

　今回お便りしたのは，その中の「絶対値不等式のレポートについて少し考えてみたので，その結果をご報告し，併せて先生のご意見をうかがおうと思ったからです．

1．「絶対値のついた1次不等式」について

　絶対値の記号 l l や絶対値のついた方程式，不等式は生徒にとって(そして教師にとっても)分かりにくい(教えにくい)部分です．その点では，絶対値の中の式の値が原点からの距離を表すと考える「まなぷ法」は，直感的にもよく分かる方法だと思います．私もこの方法を用いて問題を解いた経験があります．

　さて，レポートの前半の3題

　　　(1)lx-3l＜4， (2)l2x-3l＜5， (3)l3x+4l＞2

については「まなぶ法」は正しい解法だと思います．しかし後半の3題

　　　(1)l2x-3l≦x+1，(2)l3x-1l＜x+3，　(3)lx-1l≧2x+3

のような問題については，「まなぶ法」には不十分なところがあると思います．よく指摘されるように方程式や不等式を解く場合，必ず同値関係を保つように式に変形しなければなりません．

　例えば，絶対値のついた式などで両辺を2乗すると，同値関係が破れることがあるからです．
　前半の3題のような問題，すなわち

　　　｜ax+b｜＜k (a＞0，k＞0とします)

のような型の問題では，

　　　｜ax+b｜＜k と -k＜ax+b＜k

とは同値です．ところが後半の3題のような問題，すなわち

　　　｜ax+b｜＜cx+d (a＞0，c＞0とします)

のような型の問題では

　　 ｜ax+b｜＜cx+d　と　-(cx+d)＜ax+b＜cx+d

とは同値ではありません．一般に，-(cx+d)＜cx+dとはならないからです．同値関係を保つには，cx+d≧0の場合とcx+d＜0の場合を両方考える必要があります．例えば後半の1番目の問題は次のように解くべきだと思います．

　(1) l 2x-3 l≦x+1

[解]

(�T)x+1≧0の場合 すなわち x≧-1　…　�@　のとき
　与式から
　　　-(x+1)≦2x-3≦x+1
です．左辺と中辺から 2/3≦x，中辺と右辺から x≦4．
共通範囲は 2/3≦x≦4．これは条件�@を満たしているので，結局
　　　2/3≦x≦4
となります．

(�U)x+1＜0の場合 すなわち　x＜-1　…　�A　のとき
　与式から
　　　｜2x-3｜≦x+1＜0
すなわち，｜2x-3｜＜0となります．ところが，絶対値の記号の意味から，
つねに ｜x-1｜≧0 です．これは矛盾．つまり，条件�Aのもとでは与式を満たすxの範囲はありません．
したがって，(�U)の場合は考える必要はなくなります．

(�T)，(�U)からもとめる解は
　　　2/3≦x≦4 となります．

(2)｜3x-1｜＜x+3 も同様に，x+3≧0の場合だけを考えればよいので，結局答は「まなぶ法」で求めたものとー致します．

(3)｜x-1｜≧2x+3 は次のように解きます．

[解]

(�T)2x+3≧0の場合 すなわち x≧-3/2 …　�@のとき
与式から
　　　x-1≦-(2x+3)　または 　2x+3≦x-1．
それぞれを解いて
　　　x≦-2/3 または x≦-4 です．
条件�@と合わせて，
　　　-3/2≦x≦-2/3 となります．

(�U)2x+3＜0 の場合 すなわち x＜-3/2　…　�A のとき，
　　　2x+3=一k (k＞0)とおくことができます．与式から
　　　｜x-1｜≧-k
となりますが，絶対値の意味から，与式はすべてのxの値に対して成り立ちます．
条件�Aと合わせて，
　　　x＜−3/2 です．

(�T)，(�U)からもとめる解は
　　　x≦-2/3 となります．

　結局，答は「まなぶ法」で求めたものとー致しますが，不十分なところがあることがわかりました．

　話をまとめると，「絶対値のついた1次不等式」では「まなぶ法」が有力な解法であることがわかりましたが，私個人としては，グラフによる解法がわかり易く好きです．

2．グラフによる「絶対値のついた1次不等式」の解法

　次のような不等式を考えます．

　　　｜ax+b｜＜cx十d (a＞0，c＞0とします)

これを，

　　　　y₁=｜ax+b｜
　　　　y₂=cx+d

とおいて，グラフをかいて y₁＜y₂を満たすxの範囲をもとめます．

　一般に，y₁=｜ax+b｜のグラフはV字型のグラフになります．

　y₂ =cx+d のグラフは1次関数の直線のグラフですから y₂₁＜y₂ を解くためには，2つのグラフの位置関係(交点)が重要になります．これは次のように，大きく3つのタイプに分類できます．

　グラフがかければ，後は交点を計算して，条件を満たすxの範囲をもとめればよいわけです．後半の問題では，(1)と(2)は�@のタイプ，(3)が�Aのタイプになります．

　以上，蛇足を書き連ねましたが，先生のご意見をうかがえればと思っております．

　先生のご健勝をお祈り申し上げます．