～「mathedu」における議論から～
●送信
-----Original Message-----
差出人 : Masasi Sanae ＜cptoh@mue.biglobe.ne.jp＞
宛先 : mathedu ＜mathedu@peach.kjb.yamanashi.ac.jp＞
日時 : 1998年8月27日 13:13
件名 : [mathedu98-00337] 絶対値のついた1 次不等式
早苗＠北数教・数実研です。
先日研究会で絶対値のついた1次不等式のことが話題になりました。
問．｜x-1｜≧2x+3 を解け。
(解1)…場合わけ
①x≧1のとき x≦-4…不適
②x＜1のとき x≦-2/3
①，②より x≦-2/3
(解2)…原点からの距離
x-1≦-(2x+3)，2x+3≦x-1
x≦-2/3，x≦-4 ∴ x≦-2/3
(解3)グラフ
下図 fig1.gif
何が問題になったかというと，
教科書や参考書では(解2)の解き方をしているものが
少ないのではないか。それはなぜだろう？
ということでした。
問題が｜x-1｜＜2x+3の場合であれば(2)のような
解法もよく見かけるのですが．．．
1つには(2)の解の最後で，“または”と“かつ”を
間違えやすいということがあげられるのでは
ないかと思います。
（下図 fig2.gif 参照）
実は私自身も少し気持ちが悪い？感じがして
実際には場合わけで教えています。
最初に発案された中村先生の話では
“教育的配慮”があるのでは？
ということをおっしゃっていました。
なにかご意見があればお聞きしたいのですが。
*******************************************
北数教・数学教育実践研究会 運営委員
札幌稲北高校 早苗雅史 (suujitu@nikonet.or.jp)
TEL 011-694-5033 FAX 011-694-5074
ネットワーク型教材データベース「数学のいずみ」
URL http://www.nikonet.or.jp/spring/
*******************************************
●返信１
-----Original Message-----
差出人 : MIYATA Yoshiyuki ＜miyo@iname.com＞
宛先 : mathedu@peach.kjb.yamanashi.ac.jp ＜mathedu@peach.kjb.yamanashi.ac.jp＞
日時 : 1998年8月27日 18:42
件名 : [mathedu98-00338] Re: @dBPCM$N$D$$$? 1 ＜!ITEy＜0
-----BEGIN PGP SIGNED MESSAGE-----
"Masasi Sanae" ＜cptoh@mue.biglobe.ne.jp＞さん、こんばんは。
みやた です。
1998年8月27日(木)午後1時6分 頃の、
【 [mathedu98-00337] @dBPCM$N$D$$$? 1 ＜!ITEy＜0 】
という題のメールへの返信です。
>問．｜x-1｜≧2x+3 を解け。
>
>(解1)…場合わけ
>①x≧1のとき x≦-4…不適
>②x＜1のとき x≦-2/3
>①，②より x≦-2/3
>
>(解2)…原点からの距離
>x-1≦-(2x+3)，2x+3≦x-1
>x≦-2/3，x≦-4 ∴ x≦-2/3
>
>(解3)グラフ
>下図 fig1.gif
>
>何が問題になったかというと，
> 教科書や参考書では(解2)の解き方をしているものが
> 少ないのではないか。それはなぜだろう？
>ということでした。
少ない?! ということは「ある」ってことですよね(^^;
(解2)は誤答だと思いますが.....結果はあっているけど解としては......
この解答が成立するためには -(2x+3)≦(2x+3) が成立していないといけませんが、
それは無条件では成立しません。
原点からの距離を使う方針で解くには、
(1) -(2x+3)≦(2x+3) のときは x-1≦-(2x+3) , 2x+3≦x-1 ゆえに.......
(2) -(2x+3)＞(2x+3) のときは x-1≦2x+3 , -(2x+3)≦x-1 ゆえに.......
って場合わけが必要です。
|x-1|＜2x+3 の形の問題の時は 2x+3 が正だと明らかなので自動的に
- -(2x+3)≦(2x+3) となって場合わけが必要ではありませんが、｜x-1｜≧2x+3 の
時は 2x+3 の正負がわからないので場合わけが必要になります。
みやた よしゆき (MIYATA Yoshiyuki) miyo@iname.com
/////////////////////////////////////////////////////////////////////////
PGP Key fingerprint RSA:9C36 39FB 27ED C94A 627F 6D39 826A CE62
DSS:2F8E 9303 9F4B 66F5 50E4 A0B1 4A6F 80D3 5978 8BEA
PGP public Key http://www.nettaxi.com/citizens/miyo/outbox/
ICQ# 12899095
-----BEGIN PGP SIGNATURE-----
Version: 2.6.3ia
Charset: noconv
iQCVAwUBNeUpVNhc5RDFhDc1AQH0bgP/SXwFL0KprHgWhcu+81PuvuL6lXGFehHT
LopVx193Ms+/XhesXMLkImByAkScPvPJUAVx9tKq3zz9ygFfqaCuqxTw8sd/tMdo
cpmYlrPvBzSj3e6zrJkKMj8AXHXPLQu6lKAx4r1e+euhUoowdpq6Ej4aUbeEgACU
yI9s7VmTP/E=
=ODJb
-----END PGP SIGNATURE-----
●返信２
-----Original Message-----
差出人 : Chikaoka,Nobuyoshi ＜chikaoka@takanishi-hs.ed.pref.toyama.jp＞
宛先 : mathedu@peach.kjb.yamanashi.ac.jp ＜mathedu@peach.kjb.yamanashi.ac.jp＞
日時 : 1998年8月27日 21:15
件名 : [mathedu98-00339] Re: @dBPCM$N$D$$$? 1 ＜!ITEy＜0
いつもご迷惑をおかけしている高岡西高校の近岡です。
"[mathedu98-00338] Re: 絶対値のついた１次不等式" において、
"MIYATA Yoshiyuki ＜miyo@iname.com＞"さんは書きました：
miyo> >問．｜x-1｜≧2x+3 を解け。
miyo> >(解2)…原点からの距離
miyo> >x-1≦-(2x+3)，2x+3≦x-1
miyo> >x≦-2/3，x≦-4 ∴ x≦-2/3
miyo> >
miyo> >何が問題になったかというと，
miyo> > 教科書や参考書では(解2)の解き方をしているものが
miyo> > 少ないのではないか。それはなぜだろう？
miyo> >ということでした。
miyo>
miyo> 少ない?! ということは「ある」ってことですよね(^^;
miyo> (解2)は誤答だと思いますが.....結果はあっているけど解としては......
miyo>
miyo> この解答が成立するためには -(2x+3)≦(2x+3) が成立していないといけませんが、
miyo> それは無条件では成立しません。
miyo> 原点からの距離を使う方針で解くには、
miyo> (1) -(2x+3)≦(2x+3) のときは x-1≦-(2x+3) , 2x+3≦x-1 ゆえに.......
miyo> (2) -(2x+3)＞(2x+3) のときは x-1≦2x+3 , -(2x+3)≦x-1 ゆえに.......
miyo> って場合わけが必要です。
miyo>
miyo> |x-1|＜2x+3 の形の問題の時は 2x+3 が正だと明らかなので自動的に
miyo> - -(2x+3)≦(2x+3) となって場合わけが必要ではありませんが、｜x-1｜≧2x+3 の
miyo> 時は 2x+3 の正負がわからないので場合わけが必要になります。
まず、Ｃが正の定数のとき、
命題１］ ｜ｘ－１｜＜Ｃ である必要十分条件は －Ｃ＜ｘ－１＜Ｃ
命題２］ ｜ｘ－１｜＞Ｃ である必要十分条件は Ｘ－１＜－ＣまたはＣ＜ｘ－１
が成り立つことは、周知の事実ですね。
でも、これらの命題を拡張して、
拡張１）Ｃが負の定数でも、これらの命題を認めるか
拡張２）Ｃがｘの関数でも、これらの命題を認めるか
が、問題になるのではないでしょうか。
＃ 認めたとして、「周知の事実として」認めるかも重要な問題。
で、今の場合は、実は-(2x+3)≦(2x+3)かどうかは、
「あまり」重要でないと思うのですがいかがでしょうか。
＃ この問題は、互いに本質的にはそう大差ないことをいっていても
＃ 表現が違うために誤解が生じて、おかしな議論に発展する可能性が
＃ ありそうですね。気を付けなければ．．．
--
近岡 宣吉 Chikaoka,Nobuyoshi
富山県立高岡西高等学校（数楽科）
E-mail:chikaoka@takanishi-hs.ed.pref.toyama.jp
●返信３
-----Original Message-----
差出人 : Masasi Sanae ＜cptoh@mue.biglobe.ne.jp＞
宛先 : mathedu@peach.kjb.yamanashi.ac.jp ＜mathedu@peach.kjb.yamanashi.ac.jp＞
日時 : 1998年8月27日 21:44
件名 : [mathedu98-00340] Re: 絶対値のついた 1次不等式
早苗＠北数教数実研です。
>みやた です。
>
>>問．｜x-1｜≧2x+3 を解け。
>>
>>(解2)…原点からの距離
>>x-1≦-(2x+3)，2x+3≦x-1
>>x≦-2/3，x≦-4 ∴ x≦-2/3
>
>この解答が成立するためには -(2x+3)≦(2x+3) が成立していないといけませんが、
>それは無条件では成立しません。
>原点からの距離を使う方針で解くには、
>(1) -(2x+3)≦(2x+3) のときは x-1≦-(2x+3) , 2x+3≦x-1 ゆえに.......
>(2) -(2x+3)＞(2x+3) のときは x-1≦2x+3 , -(2x+3)≦x-1 ゆえに.......
>って場合わけが必要です。
>
>|x-1|＜2x+3 の形の問題の時は 2x+3 が正だと明らかなので自動的に
>- -(2x+3)≦(2x+3) となって場合わけが必要ではありませんが、｜x-1｜≧2x+3 の
>時は 2x+3 の正負がわからないので場合わけが必要になります。
>
問題は最後の部分にあると思います。
｜a｜＜b ⇔ -b＜a＜b …(＊)
（｜f(x)｜＜g(x) ⇔ -g(x)＜f(x)＜g(x) と置き換えてもいいです）
が常に同値関係が成り立つか，だと思います。
（→）a≧0のとき 0≦a＜b，a＜0のとき 0＞a＞-b ∴-b＜a＜b
（←）a＜0のとき -b＜a＜bより－b＜b ∴b＞0 よって明らか
もし(＊)が成り立つのであれば，これの補集合を取ることで
｜a｜≧b ⇔ a≦-b，b≦a
がいえます。
そう考えれば，場合わけは必要ないのではないか，と思われるのですが。
ただ答案にこのままの形で記述されたとき，どうしたらよいかというと？
*******************************************
北数教・数学教育実践研究会 運営委員
札幌稲北高校 早苗雅史 (suujitu@nikonet.or.jp)
TEL 011-694-5033 FAX 011-694-5074
ネットワーク型教材データベース「数学のいずみ」
URL http://www.nikonet.or.jp/spring/
*******************************************
●返信４
-----Original Message-----
差出人 : Masasi Sanae ＜cptoh@mue.biglobe.ne.jp＞
宛先 : mathedu@peach.kjb.yamanashi.ac.jp ＜mathedu@peach.kjb.yamanashi.ac.jp＞
日時 : 1998年8月27日 21:57
件名 : [mathedu98-00341] Re: 絶対値のついた１次不等式
早苗＠北数教・数実研です。
>まず、Ｃが正の定数のとき、
>命題１］ ｜ｘ－１｜＜Ｃ である必要十分条件は －Ｃ＜ｘ－１＜Ｃ
>命題２］ ｜ｘ－１｜＞Ｃ である必要十分条件は Ｘ－１＜－ＣまたはＣ＜ｘ－１
>が成り立つことは、周知の事実ですね。
>
>でも、これらの命題を拡張して、
>拡張１）Ｃが負の定数でも、これらの命題を認めるか
>拡張２）Ｃがｘの関数でも、これらの命題を認めるか
>が、問題になるのではないでしょうか。
>＃ 認めたとして、「周知の事実として」認めるかも重要な問題。
わたしもそう思います。
Cが負の数としても整合性は失われないといえます。
これを教育の現場でどう扱うかというと，少し難しいかもしれません。
●返信５
-----Original Message-----
差出人 : MIYATA Yoshiyuki ＜miyo@iname.com＞
宛先 : mathedu@peach.kjb.yamanashi.ac.jp ＜mathedu@peach.kjb.yamanashi.ac.jp＞
日時 : 1998年8月27日 23:31
件名 : [mathedu98-00342] Re: @dBPCM$N$D$$$? 1 ＜!ITEy＜0
-----BEGIN PGP SIGNED MESSAGE-----
"Chikaoka,Nobuyoshi" さん、こんばんは。
みやた です。
1998年8月27日(木)午後9時7分 頃の、
【 [mathedu98-00339] Re: @dBPCM$N$D$$$? 1 ＜!ITEy＜0 】
という題のメールへの返信です。
>miyo> 原点からの距離を使う方針で解くには、
>miyo> (1) -(2x+3)≦(2x+3) のときは x-1≦-(2x+3) , 2x+3≦x-1 ゆえに.......
>miyo> (2) -(2x+3)＞(2x+3) のときは x-1≦2x+3 , -(2x+3)≦x-1 ゆえに.......
>miyo> って場合わけが必要です。
(snipped)
>まず、Ｃが正の定数のとき、
>命題１］ ｜ｘ－１｜＜Ｃ である必要十分条件は －Ｃ＜ｘ－１＜Ｃ
>命題２］ ｜ｘ－１｜＞Ｃ である必要十分条件は Ｘ－１＜－ＣまたはＣ＜ｘ－１
>が成り立つことは、周知の事実ですね。
>
>でも、これらの命題を拡張して、
>拡張１）Ｃが負の定数でも、これらの命題を認めるか
>拡張２）Ｃがｘの関数でも、これらの命題を認めるか
>が、問題になるのではないでしょうか。
>＃ 認めたとして、「周知の事実として」認めるかも重要な問題。
先の解答は、場合わけの仕方を 2x+3 の正負を基準にしたので、変な感じに
なってしまいました。拙速はいけませんね(^^;反省。
で、ご返事をかねて整理します。
|f(x)|＞g(x) については
(1) g(x)＜0 のときは 常に成立。したがって、g(x)＜0 の解がこの不等式の解。
(2) g(x)＞0 のときは f(x)＜-g(x) OR g(x)＜f(x) と同値。したがって
「g(x)＞0の解」AND 「f(x)＜-g(x) OR g(x)＜f(x)の解」がこの不等式の解。
したがって、与えられた不等式の解は (1)の解と(2)の解の和集合。
となって、なんの前提もなければ、やはり場合わけが必要と思うのですが。
拡張(1)ですが、Cが負の定数のときは認めるかどうかではなく、不成立では
ないでしょうか。すぐ反例がつくれますから。したがって拡張(2)はやはり
無条件には成立しないので、命題としては不成立でしょう。
みやた よしゆき (MIYATA Yoshiyuki) miyo@iname.com
/////////////////////////////////////////////////////////////////////////
PGP Key fingerprint RSA:9C36 39FB 27ED C94A 627F 6D39 826A CE62
DSS:2F8E 9303 9F4B 66F5 50E4 A0B1 4A6F 80D3 5978 8BEA
PGP public Key http://www.nettaxi.com/citizens/miyo/outbox/
ICQ# 12899095
-----BEGIN PGP SIGNATURE-----
Version: 2.6.3ia
Charset: noconv
iQCVAwUBNeVtM9hc5RDFhDc1AQHsOgP/aBDmefBFKzYexqk+4qjYakGL28yJoYZV
854ogasejGAOYt7LVc4xQiHwrjwO5vPusYiKF6+ZTiFJ6oxZQMQUFPMoKw/zA090
OxREm7JPGSy4HaPgt+Z1IWI2mlyV90s74C9kWROEhQhN5dtYzqqEHZACvKWjCDAm
BQmo3Idtu88=
=Jrzq
-----END PGP SIGNATURE-----
●返信６
-----Original Message-----
差出人 : Akio Furukawa ＜fakio@seg.co.jp＞
宛先 : mathedu@peach.kjb.yamanashi.ac.jp ＜mathedu@peach.kjb.yamanashi.ac.jp＞
日時 : 1998年8月28日 20:06
件名 : [mathedu98-00343] 絶対値のはいった不等式
At 11:29 午後 98/08/27 +0900, MIYATA Yoshiyuki wrote:
> >まず、Ｃが正の定数のとき、
> >命題１］ ｜ｘ－１｜＜Ｃ である必要十分条件は －Ｃ＜ｘ－１＜Ｃ
> >命題２］ ｜ｘ－１｜＞Ｃ である必要十分条件は Ｘ－１＜－ＣまたはＣ＜ｘ－１
> >が成り立つことは、周知の事実ですね。
> >
> >でも、これらの命題を拡張して、
> >拡張１）Ｃが負の定数でも、これらの命題を認めるか
> >拡張２）Ｃがｘの関数でも、これらの命題を認めるか
> >が、問題になるのではないでしょうか。
>
> 拡張(1)ですが、Cが負の定数のときは認めるかどうかではなく、不成立では
> ないでしょうか。すぐ反例がつくれますから。したがって拡張(2)はやはり
> 無条件には成立しないので、命題としては不成立でしょう。
>
古川＠ＳＥＧです。
上記のおっしゃる意味がわかりません。
命題１ 命題２ はいずれも、Ｃの 正負 に限らず
全く正しいことは、いうまでもないかとおもいますが。。。。
単純に、
|x-1| := max (x-1,1-x)
ですから、
|x-1|＜c --(1) ⇔ max(x-1,1-x)＜c
⇔ x-1＜c and 1-x＜c --(2)
|x-1|＞c --(3) ⇔ max(x-1,1-x)＞c
⇔ x-1＞c or 1-x＞c --(4)
であり、上記の同値変形は、cの正負によらず正しいのは
いうまでもありません。
> 拡張(1)ですが、Cが負の定数のときは
> 認めるかどうかではなく、不成立では
> ないでしょうか。
c＜0 のときは、 (1) も (2) もともに、真理集合は 空集合
で同値です。
-------------------------------------------------------------------
FURUKAWA Akio Math Teacher of Scientific Education Group
Email fakio@seg.co.jp Phone +81-3-3366-1466 Fax +81-3-3366-1689
SEG, 7-19-19, Nishi-Shinjuku, Shinjuku-ku Tokyo, 160-0023, JAPAN
IPadrs 202.33.199.66 Pager 03-6209-6307
URLadrs http://www.seg.co.jp/fakio/
古川 昭夫 〒160-0023 新宿区西新宿7-19-19 ＳＥＧ
-------------------------------------------------------------------
●返信７
-----Original Message-----
差出人 : fyasu@cocoa.ocn.ne.jp ＜fyasu@cocoa.ocn.ne.jp＞
宛先 : mathedu@peach.kjb.yamanashi.ac.jp ＜mathedu@peach.kjb.yamanashi.ac.jp＞
日時 : 1998年8月28日 21:40
件名 : [mathedu98-00344] Re: @dBPCM$N$D$$$? 1 ＜!ITEy＜0
稚内の安田です。
絶対値不等式に関しての話題で、MIYATAさんの発言について私が考えたことを
述べます。時間をかけてじっくり考えたわけではないので、私が単純なミスをし
ているかも知れませんのでご検討下さい。
－－－－－－－－－－ MIYATA さん筆 －－－－－－－－－－－
> |f(x)|＞g(x) については
>
> (1) g(x)＜0 のときは 常に成立。したがって、g(x)＜0 の解がこの不等式の解。
> (2) g(x)＞0 のときは f(x)＜-g(x) OR g(x)＜f(x) と同値。したがって
> 「g(x)＞0の解」AND 「f(x)＜-g(x) OR g(x)＜f(x)の解」がこの不等式の解。
>
> したがって、与えられた不等式の解は (1)の解と(2)の解の和集合。
>
> となって、なんの前提もなければ、やはり場合わけが必要と思うのですが。
－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－
についてですが、問題になるのは(1)の解集合が f(x)＜-g(x) OR g(x)＜f(x)
の解集合に含まれるかどうかという問題だと思います（ただし、MIYATAさんの(2)
では、g(x)＞0 では不十分で、g(x)＜＝ とイコール付きの不等式にしないと
場合漏れになると思いますので、ここではそのようにして考えて進めます）。
今述べたことの根拠を以下に示しますが、それは当たり前ということであれば
以下の根拠を読み飛ばして次の説明に移って下さい。
－－－－－－ 上に述べたことの根拠 －－－－－－－－－－－
なぜなら、場合分けをして不等式を解くとい
う考えは、実数全体をいくつかのパートに分け、そのそれぞれのパートから解を
拾い集めるという考えだと思います。今回の問題では、g(x)＜0 が成り立つ集合
をＡとし、g(x)＜＝0 が成り立つ集合をＢとし、実数全体をＲとすると、
Ｒ＝Ａ＋Ｂ（＋は集合の直和の意味）です。そして、問題の |f(x)|＞g(x) の解
の集合をＳとすると、ド・モルガンの法則から
Ｓ＝Ｒ共Ｓ＝（Ａ共Ｓ）＋（Ｂ共Ｓ） （共：共通集合を取るという意味）
ですが、 （Ａ共Ｓ）については(1)にあるように、
（Ａ共Ｓ）＝Ａ
であり、（Ｂ共Ｓ）については、f(x)＜-g(x) OR g(x)＜f(x) を満たす集合を
Ｃとすると、(2)にあるように
（Ｂ共Ｓ）＝（Ｂ共Ｃ）
です。それで、Ｓ＝Ａ＋（Ｂ共Ｃ）となります。ここで再びド・モルガンの法則
を使うと
Ｓ＝Ａ＋（Ｂ共Ｃ）＝（Ａ和Ｂ）共（Ａ和Ｃ）
＝Ｒ共（Ａ和Ｃ）
＝Ａ和Ｃ
となります。つまり、ＡがＣに含まれていれば Ｓ＝Ｃ となり、g(x) の符号
を意識する必要なく、Ｃの不等式を解くだけで本来の不等式の解が得られること
になります。
－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－
ここで、(1)の解集合が f(x)＜-g(x) OR g(x)＜f(x) の解集合に含まれると
いうことを示します。
さて、g(x)＜0 の解の一つを x=a とおきます。つまり、g(a)＜0 です。
そして、この x=a が(2)の解になっているかどうかを調べます。つまり、
f(a)＜-g(a) OR g(a)＜f(a)
が成り立つかどうかということです。ところで、g(a)＜0 なので、
g(a)＜-g(a)
です。ということは、任意の実数 b に対して b＜-g(a) OR g(a)＜b が成り立つ
ことになります。ということは当然 f(a)＜-g(a) OR g(a)＜f(a) も成り立つこ
とになります。
ですから、結論として f(x)＜-g(x) OR g(x)＜f(x) を解けば、元の不等式を
解いたことになると思うのですが。
以上が考えたことです。
８月２８日
安田富久一
|
《 関 連 資 料 》
|