z=αz1+β (α,β∈C)
と表される。この円P(z)のf：z →
による変換像Q(w)を求めてみよう。
より、w(αz1+β)=1
wαz1+wβ=1
αwz1=1-wβ
|α||w||z1|=|wβ-1|
|z1|=1より、
………(*)
(*)は、|α|＝|β|のとき、原点Oと中心Cの反点C´を結ぶ線分OC´の垂直二等分線を表す。このとき、zは原点を通る円である。
|α|≠|β|のときは、線分OC´を|β|：|α|の比に内分および外分する２点を直径の両端とする円を表す。
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(1) 原点を通る円は直線に移される。 (2) 原点を通らない円は円に移される。 |
ではzの軌跡が円に移されるとき、円の中心と半径を次に求める。
(*)の両辺を平方して、
よって、中心 
で半径 
の円となる。
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f：z → なる共役反転変換により、中心C(β),半径|α|の円は ○D＝0のとき、円は直線に移される。 ○D≠0のとき、円は円に移される。ただし、D=|β|2-|α|2 である。 |