証明)

　円の中心Cに対し、OC=s、円の半径rとすると、
　　　OP・OQ=OR・OS =(s-r)(s+r)=s²-r²
　また、線分の一方が円に接するとき、
　　　OP・OQ=OR・OS = s²-r²=OT²
であり、その積は常に一定値となる。この値をベキという。

なお、この方ベキの定理における線分は有向線分である。
　　　
と考えると、点Oが円の内部にある場合においても方ベキの定理は成立する。
　　　OP・OQ=OR・OS =(s-r)(s+r)= s²- r²<0
すなわち、点Oが円の外部の場合は、OP・OQ>0,円の内部の場合は、OP・OQ<0となるわけである。

　このベキの値が共役反転変換にどのように関わってくるかみてみよう。

円周上の弦PQまたはその延長が原点を通るとする。 f：z　→　 において、円が円に移され、P´=f(P) ,Q´=f(Q) ならば、弦P´Q´の長さは、弦PQの長さに比例する。

中心A(α)、半径rの円周上の２点をP(z₁),Q(z₂)とし、それぞれのfによる像を P´(z₁´),Q´(z₂´) とする。このとき明らかに直線 P´Q´ は原点を通る。また、
　　　
　ここで、方べきの定理より、OP・OQ=λ(べき)とすると、
　　　
　よって、円が円に移されるとき、対応する原点を通る弦の長さは、比例することが分かる。 　これから最大弦である円の直径はまた直径に移されるということがわかる（ただし、直径の両端が直径の両端に移されるというだけであり、線分が移されるということではない）。

f：z　→　 により、円Cが円C´に移されるとき、 線分またはその延長上に原点がある円Cの直径は円C´の直径に移される。

　なお、直径だけの変換であれば次のように考えることも可能である。

　円C上の直径をA(z₁), B(z₂)とし、A,B以外の円周上の点をP(z)とする。変換fの像をそれぞれ、A´(w1),B´(w2),P´(w)とすれば、
　　　 　ここで、∠APB=90°であるから は純虚数。また、三点O,A,Bが一直線上にあるとき、 は実数であるから、 は純虚数である。よって、∠A´P´B´=90° となり、A´B´は直径となる。

f：z　→　 により、円Cが円C´に移されるとする。 円Cの原点Oに対するベキがλであるとき、円C´のOに対するベキは である。

証明

原点を通る直線と円Ｃとの交点をP,Qとし、その鏡像をそれぞれP´,Q´とすると、
　　　OP・OP´=1,　OQ・OQ´=1 ……(*) また、円Cにおいて方ベキの定理より、
　　　OP･OQ=λ(ベキ)
(*)の二式を辺々かけると
　　　OP・OP´・OQ・OQ´= 1
　　　∴　

　原点を通る直線は、原点を通る直線に移されるから原点を通る円Ｃの弦は、原点を通る円Ｃ´の弦に移される。
　よって、O,P´,Q´は一直線上にあるから がベキの値である。

　以上のことより次の結果を得る。

f：z　→　 により、中心A(α),半径rの円Cが円C`に移されるとき、 　　�@円 の半径は 　　�A円 の中心は である。ただし、λは、円Cの原点に対するベキの値である。

�@は明らかである。
また、原点と円Cの中心Aを通る直線は、fによる実軸に関して対称な直線に変換される。よってその上にある直径も同様に変換される。このことより、円C´の中心もまたその直線上にあることになる。よって、点Aの実軸対称点と原点を結ぶ直線上に中心はある。そして、ベキの値が であることより�Aが得られる。
　なお、円の中心は円の中心に移るわけではない。実際
　　　
であるが、
　　　λ=|α|²
となることはない。

円Cが原点Oを通るとき、 f：z　→　 によって、円周上の点P(z)は、原点Oと円Cの中心を結ぶ直径のO以外の端点Bの反転B´を通りOB´に垂直な直線に変換される。

　原点は、反転により無限遠点に対応する。
また、原点からもっとも離れた点はもっとも距離の短い点となる。
よって図の直径の端点Bが円周上の原点からの最大距離の点であるから、この反転B´が最短点である。そして求める図形は直線であるから、点B´は原点から求める直線に下ろした垂線の足ということになる。簡単にいえば、円の中心Cの反転をC´とすると、OC´の垂直に等分線である。

　なお、原点を通る円が単位円と交わるとき、その交点の反転は、実軸対称点になるからその鏡像である2点を通る直線が像である。

円Cが原点Oを通り単位円と交わるとき、 f：z　→　 によって、円周上の点P(z)は、円Cと単位円との2交点を通る直線を実軸対称移動した直線に変換される。

ex) 点P(z)が次の円周上の点であるとき、 　　　f：z　→　 で移される点Q(w)の軌跡を求めよ。 　(1) 半径2で中心A(2)である円C 　(2) 半径1で中心3+4iである円 　(3) 半径2で中心1+iである円

(1)の解)

円Cは原点を通るからfにより直線に移される。
原点からもっとも離れた円周上の点は、B(4)である。
その鏡像は であるから、
　　　OB´に垂直な直線
に移される。

(2)の解)

円Cは原点を通らないからfにより円に移される。
円Cの中心と原点Oを通る直線と円Cとの交点をA,Bとすると、原点と円Cの中心C(3+4i)との距離はOC=5であるから、λ=OA・OB=4×6=24 (あるいは、OT²=OC²-CT²=25-1=24)
　よって求める円の中心は 、
　　　
また半径は、
　　　
である。

(３)の解)

原点Oは円Cの内部にあるから円に変換される。
原点Oと円の中心Cとの距離は、 であるから、
　　　
よって、円Cの像円C´の中心は、
　　　
また、半径は
　　　
である。

Remark)

(1)〜(3)の通常の解答は次のようになる。
それぞれの円を式で表現すると、
　(1) |z-2|=2 (2) |z-(3+4i)|=1 (3) |z-(1+i)|=2
ここで、z= を代入して各式を整理すると、
(1) より、二点(0), から等距離にある軌跡。すなわち直線
(2) より
　よって、二点(0), を結ぶ線分を5：1の比に内分、外分する点を直径の両端とする円。
(3) 　
　よって、二点(0), を結ぶ線分を 1：の比に内分、外分する点を直径の両端とする円。