四点で作られる空間内の支点

ＥＸ）正四面体ＡＢＣＤの内部の点Ｐが、 を満たすとき、点Ｐの位置を求めよ。

解）

　線分ＡＢを３：１の比に内分する点をＥ，線分ＣＤを ２：１の比に内分する点をＦとすると、
　　
　　∴ 点Ｐは、線分ＥＦを、３：１の比に内分する点である。

　同一平面上にない４点（条件が曖昧であるが）により、ベクトル方程式としての空間が定まるが、４点Ａ，Ｂ，Ｃ，Ｄを頂点とする四面体の内部に点Ｐをとるとき、
　　
は何を意味するであろうか。上述のＥＸ）のように考えると、
　　
　　
より、線分ＡＢを：ｋの比に内分する点をＥ，線分ＣＤをｎ：ｍの比に内分する点をＦとするとき、線分ＥＦを、(ｍ＋ｎ)：（ｋ＋）の比に内分する点がＰである。特に、
　　(ｋ＝＝ｍ＝ｎ)
のとき、点Ｐは、辺ＡＢ，ＣＤの中点を結ぶ線分の中点であり、これが四面体ＡＢＣＤの重心となる(頂点を共有しない四面体の２辺の中点を結ぶ線分は１点で交わることも分かる)。

　さらに、ｋ，，ｍ，ｎを図形的に解釈してみよう。

　より、
　　
　　

　ここで、点Ｇを三角形ＢＣＤを含む平面上の点とすると、
　　である。
　　　∴
　よって、点Ｐは線分ＡＧを、(＋ｍ＋ｎ)：ｋ の比に内分する点である。

　これから、四面体ＡＢＣＤの体積をＶ，四面体ＰＢＣＤの体積をＶ_１とすると、
　　Ｖ：Ｖ_１＝(ｋ＋＋ｍ＋ｎ)：ｋ
となる。

　同様に、四面体ＰＣＤＡ，ＰＤＡＢ，ＰＡＢＣの体積をそれぞれＶ_２，Ｖ_３，Ｖ_４とすると、
　　Ｖ：Ｖ_１：Ｖ_２：Ｖ_３：Ｖ_４＝(ｋ＋＋ｍ＋ｎ)：ｋ：：ｍ：ｎ
である。

　以上より、点Ｐは、四面体ＡＢＣＤの体積のバランスをとる点(質量中心)となる。

　また、四面体の重心は、
　　
　　
とみれば、三角形ＢＣＤの重心Ｇに対して、線分ＡＧを３：１の比に内分する点である。