実数ａ、ｂの順序対（ａ、ｂ)を考える。これを複素数と呼びその相等、和、積を次のように定義する。
(１)(ａ、ｂ)＝(ｃ、ｄ)のときａ＝ｃかつｂ＝ｄ
(２)(ａ、ｂ)(ｃ、ｄ)＝(ａ＋ｃ、ｂ＋ｄ)
(３)(ａ、ｂ)(ｃ、ｄ)＝(ａｃ−ｂｄ、ａｄ＋ｂｃ)

　(ａ、ｂ)(０、０)＝(０、０)(ａ、ｂ)＝(ａ＋０、ｂ＋０)＝(ａ、ｂ)であるからに関して“零”の役自を果たすのが(０、０)である。

　任意の(ａ、ｂ)に対して
　　　(ａ、ｂ)(−ａ、−ｂ)＝(０、０)
となるから、に関して(ａ、ｂ)の逆元が(−ａ、−ｂ)である。

　そこで(ａ、ｂ)と(ｃ、ｄ)の減法を(ａ、ｂ)と(−ｃ、−ｄ)との和として次のように定義する。

(４)(ａ、ｂ)(ｃ、ｄ)＝(ａ、ｂ)(−ｃ、−ｄ)＝(ａ−ｃ、ｂ−ｄ)

　このことから乗法に関して単位元となるのは(１、０)である。任意の(ａ、ｂ)に対して((ａ、ｂ)≠(０、０)とする)
　　　　(ａ、ｂ)(ａ/(ａ²＋ｂ²)、−ｂ/(ａ²＋ｂ²))＝(１、０)
となるから乗法に関して(ａ、ｂ)の逆元は
　　　(ａ/(ａ²＋ｂ²)、−ｂ/(ａ²＋ｂ²))
である。

　ここで(ｃ、ｄ)の逆元(ｃ/(ａ²＋ｂ²)、−ｄ/(ａ²＋ｂ²))を用いて、(ａ、ｂ)と(ｃ、ｄ)の除法について次のように定義する。

(５)(ａ、ｂ)(ｃ、ｄ)＝(ａ、ｂ)(ｃ/(ａ²＋ｂ²)、−ｄ/(ａ²＋ｂ²))

　　　(ａ、０)(ｂ、０)＝(ａ＋ｂ、０)
　　　(ａ、０)(ｂ、０)＝(ａ−ｂ、０)
　　　(ａ、０)(ｂ、０)＝(ａｂ、０)
　　　(ａ、０)(ｂ、０)＝(ａ/ｂ、０)　(ｂ≠０)

となり(ａ、０)とか(ｂ、０)の形の複素数は四則計算に関しては実数のａやｂと同じ働きをしている。

　つまり複素数(ａ、０)と実数ａとを同一視することが可能であり、(ａ、０)や(ｂ、０)については、 上記、、、は実数の計算における加減乗除と同−視できることも判る。今後は(ａ、ｏ)を単にａと書いてもよい事になる訳である。つまり実数ば新しく定義された複素数の中の特別な場合として位置づけられるのである。

　(ａ、ｂ)²＝(ａ、ｂ)(ａ、ｂ)と定義しよう。

　このとき(０、１)²＝(０、ｌ)(０、１)＝(−１、０)となり、これは実数の−１を表している。そこで(０、１)をｉで表わすことにするとｉ²＝−１となる。任意の(ａ、ｂ)については(ａ、ｂ)＝(ａ、０)(０、ｂ)が成り立ち、更に(ｂ、０)(０、１)＝(０、ｂ)となるので(ａ、ｂ)＝(ａ、０)(０、ｂ)＝(ａ、０)｛(ｂ、０)(０、１)＝ａ＋ｂ・ｉのように表わすことが可能となる。

　つまり複素数の演算として走義されたととでａ＋ｂ・ｉの＋と・とを表していることになる。

　更に考察を進めてゆくとａ＋ｂ・iと書いた＋や・は、笑数の加法や乗津の＋、・と同一視してもよ いことが示されるのである。

　以上のような理論展開が順序対による複素数の定義である。抽象的代数学の手法に習熟した学習 者でなければ、なかなか理解するには難しい内容といえよう。