まず、変換のどのような性質がこれから使われるか、簡単にまとめておこう。
(ⅰ)２つの写像ｆ、ｇが等しいの意味
(１)ｘの変域とｕの変域が集合として等しい。
(２)ｘ＝ｕならばｆ(ｘ)＝ｇ(ｕ)
集合Ｖから同じ集合Ｖへの写像を“Ｖの変換”という。
Ｖにおける２つの変換ｆ，ｇが与えられているとき、変換ｆと変換ｇとが等しいのは次のときである。
ｆ；ｘ├→ｆ(ｘ) ｇ；ｘ├→ｇ(ｘ)
とすると、任意の元ｘ(ｘ∈ｖ)に対してｆ(ｘ)＝ｇ(ｘ)のときｆ＝ｇとなる。
(ⅱ)合成変換
ｆで表わす。ｇ
ｆ；ｘ├→ｇ(ｆ(ｘ))である。これをｇ
ｆ；ｘ├→ｇｆ(ｘ)とも表わす。つまりｇ
ｆ(ｘ)＝ｇ(ｆ(ｘ))である。合成変換については一般に、ｇ
ｆ≠ｆｇであるが、ｇｆ＝ｆｇのとき可換という。Ｖにおける３つの変換ｆ、ｇ、ｈについてはｈ(ｇｆ)＝(ｈｇ)ｆは常に成り立つ。
(ⅲ)変換の和
ｆ；ｘ├→ｆ(ｘ) ｇ；ｘ├→ｇ(ｘ)
に対してｘ├→ｆ(ｘ)＋ｇ(ｘ)となる変換を、変換ｆと変換ｇの和と呼びｆ＋ｇと表わす。
すなわちｆ＋ｇ；ｘ├→ｆ(ｘ)＋ｇ(ｘ)である。
(ⅳ)変換が線型であるとき。