次にＯの位置よりもｘｍ前までは，そこを通る光の量はＩ₀の何倍であった答えなのかを考えよう。

　これはまずＯの位置に対して−ｘの位置と考えられるからここでの光の量については　Ｉ_−x＝ａ^−xＩ₀　が成り立つ。また−ｘの位置からｘｍだけ光が進むとＯの位置に達するのであるから，Ｉ_−xという量の光がｘｍ進むことによりａ^x倍となりそれがＩ₀という光の量になっている。つまり　Ｉ_−x×ａ^x＝Ｉ₀　となる。故に　Ｉ₀/ａ^x＝ａ^-xＩ₀　となり　ａ^-x＝１/ａ^x　が導かれる。

　このことについては別な考え方もできる。光は与えられた媒質の中を左から右の方向へ進んでいて，１ｍ進むごとに光の量はａ倍になっていくのであった。

　従ってＩ₋₁はＩ₀の１/ａ倍，Ｉ₋₂はＩ_-1の１/ａ倍，・・・となっているから
　　　Ｉ_-2＝(１/ａ)²Ｉ₀，　　Ｉ_-3＝(１/ａ)³Ｉ₀，　・・・
となり　Ｉ_-x＝(１/ａ)^xＩ₀　が得られる。

Ｉ_-x＝(１/ａ)^xＩ₀　と　Ｉ_-x＝ａ^-xＩ₀　より　(１/ａ)^x＝ａ^-x
従って　(１/ａ)^x＝ａ^-x＝１/ａ^x　が得られる。

　Ｏの位置より１/２ｍ進むと光の量は何倍になっているのだろうか。それはＩ₀のａ^1/2倍であるといえばよいのだが，実際には何倍のことだろうか。ｙ＝ａ^1/2とおいて考える。光は１/２ｍ進むごとにｙ倍となるのだから　Ｉ_1/2＝ｙＩ₀，また　Ｉ₁＝ｙＩ_1/2＝ｙ²Ｉ₀　となりＩ₁＝ａＩ₀　より　ｙ²＝ａ　が得られる。故に　ｙ＝√ａ　つまり　ａ^1/2＝√ａ　である。

　Ｉ_1/n＝ａ^1/nＩ₀のときｙ＝ａ^1/nとおいて，このｙについて考えてみよう。これは１/ｎ ｍ進むごとにｙ倍となることを繰り返しているから光の量については次のような関係が成り立つ。
　　　Ｉ_1/n＝ｙＩ₀，　Ｉ_2/n＝ｙＩ_1/n＝ｙ²Ｉ₀，　・・・　，　Ｉ₁＝ｙＩ_(n-1)/n＝ｙⁿＩ₀
ところが　Ｉ₁＝ａＩ₀　より
　　　ｙⁿ＝ａ　　　∴　ｙ＝ⁿ√ａ
故に　ａ^1/n＝ⁿ√ａ　が成り立つ。

　Ｏからｍ_(m)進んだｍの位置での光の量は　Ｉ_m＝ａ^mＩ₀　となっているが，これをｎ段階に分割して考えてみることにする。ｍ_(m)進むのにｍ/ｎ_(m)ずつｎ回進むことによってｍ_(m)進んだと考えるのである。

　Ｉ_m/n＝ａ^m/nＩ₀　であるが，ｙ＝ａ^m/n　とおいてこのｙについてかんがえてみることにする。ｍ/ｎ_(m)進むごとにｙ倍となることを繰り返してゆくので光の量について次の関係が成り立つ。
　　　Ｉ_m/n＝ｙＩ₀，　Ｉ_2m/n＝ｙＩ_m/n＝ｙ²Ｉ₀，　・・・　，　　Ｉ_m＝ｙＩ_(n-1)m/n＝ｙⁿＩ₀
また　Ｉ_m＝ａ^mＩ₀　であるから　ｙⁿ＝ａ^m　が成り立つ。
　故に　ｙ＝ⁿ√ａ^m　となるので　ａ^m/n＝ⁿ√ａ^m　が成り立つ。

[１]次の式を根号の形でかけ。

[２]次の式をａ^xの形でかけ。

[３]次の等式の左辺をａ^mの形に直し，（　　）に適当な数を記入せよ。

　今まで調べてきたことをまとめてみよう。Ｉ₂＝ａ²Ｉ₀　であったがａ²とはａ倍の繰り返しであった。ｎが正の整数のときにはａⁿはａ倍をｎ回続けるという意味になる。ところがａ^5/2等はａ倍を２．５回繰り返す等と考えても意味がない。これは５/２の位置を通る光の量Ｉ_5/2が，Ｏの位置を通る光の量Ｉ₀のａ^2.5倍であると意味であり，それは ａ^5/2＝√ａ⁵ であるということは既に調べてきたのであった。また ａ^-3/5 等はどんな意味を持つかということについても調べてきた。それは−３/５の位置を通る光の量Ｉ_-3/5がＯの位置を通る光の量Ｉ₀のａ^-3/5倍になることを示す数であり ａ^-3/5＝１/ａ^3/5＝１/⁵√ａ³ となることであった。

　このようにａⁿという場合のｎとは正の整数だけでなく，正負の有理数であってもよいのである。