さて高校数学の式計算でよく用いられかつ重要な役割をはたすものは，計算の基本法則としての交換則，結合則，分配則と共に指数法則といわれるものである。指数法則とは次のような公式をいう。

ｍ，ｎが正の整数のとき 　　　　　ａm×ａn＝ａm+n， 　　　　　ａm÷ａn＝ａm-n 　　　　　(ａm)n＝amn， 　　　　　(ａｂ)m＝ａmｂm となる。

　これらの公式の証明は，例えば次のようにしてなわれることが多い。
　ａ^mは１にａをｍ個掛ける，ａⁿは１をｎ回掛けることであるから，
　　　
となる。

　しかしながらｍやｎが正や負の有理数であれば，このような方法での証明はできない。従ってｍ，ｎが有理数のときに指数法則が成り立つかどうかも判らないわけである。たとえば，
　　　ａ^-5×ａ³＝ａ^-5+3＝ａ^-2
　　　ａ^2/5×ａ^1/3＝ａ^2/5+1/3＝ａ^11/15
　　　(ａ^-2/3)^4/5＝ａ^-2/3×4/5＝ａ^-8/15
等というように計算してもよいのであろうか。

　これを考える場合にも媒質の中を通る光の量についての性質をもとにして計算法則を見つけてゆかなければならない。

　光はＯの位置より目盛ｘ₁の位置に到達し，そこから距離ｘ₂だけ進んで目盛ｘ₁＋ｘ₂の位置に達する。この場合について考えよう。

　Ｉ_x1＝ａ^x1Ｉ₀，Ｉ_x1+x2＝ａ^x2Ｉ₁より
　　　Ｉ_x1+x2＝ａ^x2×ａ^x1Ｉ₀
　　　Ｉ_x1+x2＝ａ^x1+x2Ｉ₀
故に
　　　ａ^x1+×ａ^x2＝ａ^x1+x2
が成り立つ。しかもこの場合のｘ₁，ｘ₂は正，負の有理数であっても上式は成り立つ。

　次にＩ_x1＝ｂＩ₀とする。このときＩ_x1＝ａ^x1Ｉ₀であるから，ｂ＝ａ^x1である。０からｘ1までを単位距離とみなしたとき，０から目盛ｘ₁ｘ₂までの距離はこの単位距離のｘ₂倍となっている。これはＯを通る光が単位距離進むごとにｂ倍になってゆくとき，その単位距離のｘ₂倍の距離を進んだと考えられる。

　目盛ｘ₁ｘ₂を通る光の量はＩ_x1x2＝ｂ^x2I₀となる。またＩ_x1x2＝ａ^x1x2I₀であるからｂ^x2＝ａ^x1x2となる。ｂ＝ａ^x1より
　　　(ａ^x1)^x2＝ａ^x1x2
が成り立つ。

　上図のような媒質の中を光が通りぬけてゆく。この媒質を通る光の量は１ｍ進むごとにａｂ倍となってゆくとする。

　従ってＩ_x＝(ａｂ)^xI₀となる。光の量について考えると，はじめI₀であったものが，この媒質の中をｘｍ進んでI_xになったのであるが，このI_xについては次のことがいえる。

　まず，I₀が１ｍ進むとａｂ倍になる媒質の中を通りＩ₁となるがＩ₁＝ａｂＩ₀であった。このＩ₁については次のように段階に分けて考えることができる。

　まずＩ₀が１ｍ進むごとにａ倍となる媒質の中を１ｍ進みＩ₁’となり，引き続いてＩ₁’が１ｍ進むごとにｂ倍となる媒質の中を１ｍ進んでＩ₁''となるとき，Ｉ₁''＝Ｉ₁である。何故ならば　Ｉ₁’＝ａＩ₀，Ｉ₁''＝ｂＩ₁’＝ｂａＩ₀　であり，Ｉ₁''＝Ｉ₁　がいえる。つまりＩ₀が１ｍ進むとａｂ倍となる媒質の中を１ｍ進むということは，１ｍ進むとａ倍となる媒質の中を１ｍ進み，引き続いて１ｍ進むとｂ倍となる媒質の中を１ｍ進むということと同じ光の量になるのである。

　この考えをつきつめてゆくとＩ₀が１ｍ進むごとにａｂ倍となる媒質の中をｘｍ進んだときの光の量は，Ｉ₀がまず１ｍ進むごとにａ倍となる媒質の中をｘｍ進み，引き続いて１ｍ進むごとにｂ倍となる媒質の中をｘｍ進んだときの光の量と同じになるのである。

　Ｉ₀が１ｍ進むとａｂ倍となる媒質の中をｘｍ進んだときの光の量は，Ｉ_x＝(ａｂ)^xＩ₀である。またＩ₀が１ｍ進むとａ倍となる媒質中をｘｍ進み光の量はＩ_x’となり，引き続いて１ｍ進むとｂ倍となる媒質中をｘｍ進んで光の量はＩ_x''となったとしよう。このとき次の式が成り立つ。
　　　Ｉ_x’＝(ａ^x)Ｉ₀，　　Ｉ_x''＝ｂ^xＩ_x’＝ａ^xｂ^xＩ₀
　既に考察してきたようにＩ_x＝Ｉ_x''であるから，(ａｂ)^x＝ａ^xｂ^xＩ₀となり，故に
　　　(ａｂ)^x＝ａ^xｂ^x
が成り立つ。