以上考察してきた過程でｘ1やｘ2，ｘ等の文字を使用したが，これらは整数だけでなく正負の有理数であってもよい。従って，ｘ，ｙが正負の有理数のときにも次のような指数法則が成り立つ。
| ａx×ａy＝ａx+y， (ａx)y＝axy， (ａｂ)x＝ａxｂx |
既に調べてあるようにｘが正負の有理数であっても(１/ａ)x＝ａ-x＝１/ａxであるから
ａx÷ａy＝ａx×１/ａy＝ａx×ａ-y＝ａx+(-y)＝ａx-y
(ａ/ｂ)x＝(ａ×(１/ｂ))x＝ａx×(１/ｂ)x＝ａx×１/ｂx＝ａx/ｂx
が成り立つ。
最後にａxにおいてｘが無理数の場合とは何を意味するのであろうか。例えば３√2とか５π等という数が考えられるのであろうか。それともそのような数を考えるのは意味がないのであろうか。√２＝１．４１４２１３５・・・であるから
１＜√２＜２
１．４＜√２＜１．５
１．４１＜√２＜１．４２
１．４１４＜√２＜１．４１５
１．４１４２＜√２＜１．４１４３
・・・・・・・
となり√２は，これにいくらでも近い有理数で表わすことができる。従って
３1＜３√2＜３2
３1.4＜３√2＜３1.5
３1.41＜３√2＜３1.42
３1.414＜３√2＜３1.415
・・・・・・・
と３√2はどんどんある値に近づく。この値を３√2と呼ぶのである。
或は次のような考え方もある。π＝３．１４１５９２６５・・・であるから
３．１， ３．１４， ３．１４１， ３．１４１５， ３．１４１５９， ・・・・
という列は次第にπに近づいてゆく。そこで
５3.1， ５3.14， ５3.141， ５3.1415， ５3.14159， ・・・
という列が次第に近づいてゆく数を５πと呼ぶのである。このようにａxはｘが有理数の場合をもとにして，ｘが無理数の場合で説明できるので上の指数法則はｘ，ｙが実数で実数であっても成立する。ただしこの場合はａ＞０とする。