（１）２定点からの距離の和が一定である点の軌跡

　２定点 A(-c,0),B(c,0) までの距離の和が 2a(一定)である点 P(x,y)の軌跡を考える。ただし、a>c>0 とする。
点P(x,y) のみたすべき方程式は
　　　
である。
　このあと、｢数学Ｃ」の教科書にあるように根号を解消するために両辺を２乗するという操作を経て次の式を得る。
　　　
これは、a>c >0 により
　　　
と変形され、これが楕円の方程式とされている。

　まずa>c>0のとき、C₁とC'が同じ図形を表すことを確認したい。
　無条件に式として考えた場合
　　　
は次の４つの式の和集合("または")と同値である。
　　　
　　　
　　　
　　　
(∵)

である。ここで
　　　
とおけば、右辺は
　　　
となり、できあがり。　　　　　　　　

したがって、a>c>0 のとき
　　　
と
　　　
は同じ図形を表し、だから
　　　
が表す図形も同じである。

つまりこのことによって、C'上のすべての点は２定点までの距離の和が一定になってることもわかった。

（２） ２定点からの距離の差が一定である点の軌跡

次に、 c>a>0 のとき
　　　
と
　　　
を合わせたものが
　　　
と同じ図形を表すことを確認する。

　先ほどと同様にCは、C₁, C₂, C₃, C₄の和集合と同値であるが、明らかにC₂の表す図形はない。
　またc>a>0より、C₁も
　　　
だから表す図形なし。
　よって、CのグラフはC₃,C₄を合わせたものである。
c>a のとき、Cは
　　　
と同値だから、C"もC₃,C₄を合わせたものであるといえる。
　また、c>0 より
　　　
よって、C"のグラフの x>0の部分がC₃、x<0 の部分がC₄である。

（３） まとめ

1. 0<a<c　のとき
   　　　
   つまり
   　　　
   のグラフは
   　　　
   　　　
   のグラフをあわせたものであり、x>0の部分がC₃,x<0の部分がC₄である。
2. a=c のとき
   　　　
   は
   　　　
   となる。すなわちx軸を表す。線分ABがC₁,点Aの左側がC₄,点Bの右側がC₃である。［説明略］
3. a>c のとき
   　　　
   つまり
   　　　
   のグラフは
   　　　
   のグラフと同じである。