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6 正多面体の中心をみる ＝体積0の正多面体の作成＝

入試問題より(4)

　正二十面体は20個の合同な正三角形を面とする多面体で、その12個の頂点は1つの球（外接球）上にある（右図参照）．正二十面体は外接球の中心に関して対称な図形である．
　一辺の長さが1の正二十面体の1つの辺をABとし、その辺の中点をMとする．さらに、外接球の中心をOとする．
　3点A,B,Oを通る平面でこの正二十面体を切ったとき、切り口として得られる六角形の頂点を順にA,B,C,D,E,Fとする．このとき、C,Fはこの正二十面体の辺の中点であり、3つの線分OM,OC,OFの長さは等しい．次の各問いに答えよ．

  1. 線分 OM の長さxを求めよ．
  2. 外接球の半径をlとするとき、l2を求めよ．
  3. α,βをこの正二十面体の1つの辺をはさんで隣り合う2つの面とする．O からα,βに下ろした垂線の足をそれぞれG,Hとすると、それらは各面の重心である．θ=∠GOHとするとき、sin θ/2およびcosθを求めよ．

山形大　2001

　前回のレポートでは同大学の入試問題をもとに多面体の包含関係のモデルを作成してみました。今回は上記の問題をヒントにスケルトン風の正多面体のモデルを考えてみます。


※正多面体の1辺の長さを$a$とします。※中接球：すべての辺と、その中点で接する球

　右図のような用紙からユニットを作成します。縦横の大きさは上の表を参照してください。Rは外接球の半径、ｒは中接球の半径を表します。
　上の表から分かることですが、面白いことに正４面体、正６面体はA4等の規格用紙、正８面体は正方形、正２０面体は黄金長方形、正１２面体は正方形から黄金長方形を切り取った長方形からそれぞれ作ったユニットで作成することができます。思いのほか簡単に作成することができます。必要なユニットの枚数はそれぞれの正多面体の辺の数です。
◎ユニットの作成（正１２面体の場合：他の多面体もほぼ同様）

　まず、下図①のように折り線を入れて、正方形から黄金長方形ABGLを作成します。この黄金長方形から正二十面体のユニットが作れますが、 ここでは残りの長方形LGCDの方②を使って正１２面体のユニットを作成します(②～⑧)。最後に(⑧)三角形の頂点部分を交互にはさみこみます。

◎ユニットの組み方

　ユニット３枚を下図のように組み込みます。あとは正１２面体の各頂点が同様の組み方になるようにすればよい。

　　

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