[ベクトル空間の定義]³⁾⁴⁾
（線形性の公理）
　集合Vと，その要素が4則演算できる数の集合K（体と呼ばれる）があり，Vの任意の元a,bと，Kの任意の元λ（スカラーと呼ぶ）に対し，
　　　和：a+b，および　スカラー倍：λa
が定義されており，それらが再びVに属するとする．さらに，和とスカラー倍に関して次の8つの公理を満たす．（注：スカラー倍はλのaに対する作用，λ：a→λaとみなすことがある．KはVの係数体と呼ばれる）

（和とスカラー倍の公理）

　a，b，cをVの任意の元，λ，μをKの任意の元とする．
1）a+b=b+a　　　　　　　和の交換法則
2）(a+b)+c=a+(b+c)　　和の結合法則
3) a+0=aとなる元0の存在　　ゼロベクトルの存在
4) a+a'=0となる元a'の存在　　逆ベクトルの存在
5) λ(a+b)=λa+λb　　左分配法則
6) (λ+μ)a=λa+μa　　右分配法則
7) λ(μa)=(λμ)a　　スカラー倍の結合法則
8) 1a=aとなる要素1の存在　　1はKの単位元 このときVを体K上のベクトル空間と呼び，Vの元をベクトルと呼ぶ．

[例1]2次元ユークリッド空間R²
　2つの実数の組(x，y)の集合はスカラーを実数として，2次元のベクトル空間となる．和とスカラー倍については，a=(a₁，a₂).b=(b₁，b₂)として，
　　　a+b=(a₁+b₁，a₂+b₂)，λa=(λa₁，λa₂)
によって定義される．ここで，a₁，a₂，b₁，b₂，λは実数である．(x，y)はふ つう数ベクトルなどと呼ばれている．(x，y)を座標と考えれば，R² は(1変数)関数のグラフが描かれる平面でもある．上で定義された和とスカラー倍が1)〜8)の公理を満たすことは，簡単に確かめられる．
　R²はベクトル空間として自明すぎて，かえって混同を招くことにもなる．aは矢印でなく平面上の点であり，注意が必要である⁴⁾(点が集まれば空間や平面になるが，矢印を集めてもそうはならない)。

[例2]複素数体C
　よく知られていろようにガウス平面(複素平面)は2次元のベクトル空間となる．スカラーとして実数，複素数どちらをとることもできるが，ここでは実教とする．
　x，yを実数，iを虚数単位とすると，複素数zは
　　　z=x十yi
とかけるので，R²の場合と同様に，z=(x，y)と表現できる．和とスカラー倍については，w=u+viとして，
　　　z+w=(x+u，y+v)，λz=(λx，λy)
によって定義される．ここでu，v，λは実数である．複素数体Cはユークリッド空間R²と同じ構造をもっている(数学では同型という)．
　あれ！複素数はスカラーだったはずなのに?と不思議に思う人もあるだろう．ベクトルを先のように公理系によって定めた以上，演算をどう定義するかによってスカラーになったりベクトルになったりするのは仕方ないことである．

[例3]xに関するn次多項式全体の集合
　a₀，a₁，a₂，…，a_nを有理数とするとき，
　　　a₀+a₁x+a₂x²+…+a_nxⁿ
をxに関する有理数の係教をもつn次多項式という．高校では因数分解や2次方程式などでおなじみの式である．どういうわけか日本の教科書ではこれをxの整式とよんでいる．ただ1項だけの式を単項式と呼ぶが，ほとんどの教科書では2項以上の式を多項式と定義し，単項式を多項式の仲間に入れていない¹⁾．この理由は不明である．
　例えば2次多項式では，和とスカラー倍を，
　　　(a₀十a₁x+a₂x²)+(b₀十b₁x+b₂x²)
　　　=(a₀+b₀)+(a₁+b₁)x+(a₂+b₂)x²
　　　λ(a₀+a₁x+a₂x²)=λa₀+λa₁x+λa₂x²
によって定義すれば，2次多項式全体の集合は3次元のベクトル空間となる．ここで，b₀，b₁，b₂，λは有理数である．

[例4]同じ定義域をもつ1変数連続関数全体の集合
　高校で習うほとんどの関数は連続関教である．大学に入って量子力学を勉強した特に2次関数や3次関数，指数関数などがベクトル(無限次元の)になると聞いて，びっくりした経険がある．f，gを同じ定義域をもち実数値をとるxの連続関数，λを実教とする．連続関数の和，スカラー倍を，
　　　(f+g)(x)=f(x)+g(x)
　　　(λf)(x)=λf(x)
によって通常の関数の和と実教倍で定義すると，f+g，λfは再び連続関数となる．この性質を用いると，連続関数全体の集合はベクトル空間となる．このベクトル空間は関数空間でもある．関数空間の詳しい解説は成書を参照してほしい．物理では，量子力学的状態はシュレディンガー方程式を満たす関数であらわされるが，これらの関数がベクトル(状態ベクトルと呼ばれる)を形成するというこがたいへん重要となる．量子力学的状態はたしたり，スカラー倍することができるからである(物理では重ね合わせの原理として知られている)．量子力学の数学的枠組みはヒルベルト空間論として知られている．これは量予力学完成の10年以上前にすでにヒルベルトらによって研究されていた．