第3章　Mathematicaでアニメ−ション

アニメ−ション実演

東京大学1996年

ｘｙｚ−空間内の円柱x²+y²=R²（R>0）を側面とする容器に、水がz=0と一致するようにｚ≦0の部分に水が入っている。ｚ≧0に対して定義された連続な関数r(z)で、r(0)=0、0≦r(z)≦Rを満たすものとする。xz平面内の不等式0≦x≦r(z)，ｚ≧0で表される領域を、ｚ軸の周りに１回転してできる回転体を毎秒１の速さで下に動かすと、ｔ秒後には水面がz=f(t)に上昇するという。T≧0に対して、f(t)=e^t−t−1である時、関数r(z)を決定せよ。

解答
両辺をｔで微分すると
πr(t+f(t))²(1+f'(t))=πR²f'(t)
これにf(t)=e^t−t−1を代入する。特にf'(t)=e^t−1も代入すると、
r(e^t−1)e^t=R²(e^t−1)
e^t−1＝zとおくと、r(z)²(z+1)=R²zより
t≧0よりｚ≧0　　∴…（答）

水面の上昇をアニメ−ションで表現してみると

g[x_,k_]:=x^2/(4-x^2)-k

f[k_]:=E^k-k-1

Do[Plot[{g[x,k],0,

f[k]},{x,-1.95,1.95},PlotRange->{{-2,2},{-4,15}},

PlotStyle->{Thickness[0.01]},

GridLines->Automatic,

AspectRatio->1.5],{k,0,3,0.5}]

更に、アニメ−ション化すると理解しやすい問題を考えてみよう。

北海道大学後期　4

水平な机の上の置かれた、１辺の長さ1の立方体のガラス容器に、その容積の1/4の量のインクが密封されている。図1に示すように、容器の内部に側面ＯＡＢＣから距離ａ、０＜ａ＜１の位置に、糸が辺ＯＣに平行に張られている。底辺ＯＡを机の上に固定し、それを回転軸として、図2のように、容器を静かに90°回転させて止めた。この過程において、少なくても一度インクに触れた糸の部分の長さを、f(a)とする。次の問いに答えよ。
ただし、ガラスの厚さは無視せよ。
　（1）f(1/2)=1/4を示せ。
　（2）1/4＜ａ＜1/2のとき、f(ａ)=1/8ａを示せ。

解答
（1）ａ=1/2の時、図2、3、4番目において、インクの高さはOA=1、容積1/4より、面積1/4で一定。

（�@）1/4＜ｘ＜1/2の時	（�A）1/2≦ｘ＜1の時	（�B）ｘ＝1の時
面積： より、y=1/4	面積： より、ｙ=ｘ(1−ｘ)	これ以降、糸はインクは糸に触れないので、 ∴ｙ=0

以上よりとなる。よって、最大値は1/4f(1/2)=1/4

この様な仮想実験的問題はアニメ−ション化してみると、理解しやすい。

Box={{0,0},{0,1},{-1,1},{-1,0},{0,0}};

Ito={{-1/2,0},{-1/2,1}};

Ro[t_]:={{Cos[t],-Sin[t]},{Sin[t],Cos[t]}};

Lev[t_]:=Which[N[Tan[t]]<0.5,{{-1,1/4-Tan[t]/2},{0,1/4+Tan[t]/2}},

0.5<=N[Tan[t]]<=1.5,{{-2/(1+2 Tan[t]),0},{0,1/4+Tan[t]/2}},

1.5<N[Tan[t]],{{-1/4-1/(2 Tan[t]),0},{-1/4+1/(2 Tan[t]),1}}]

Do[Show[Graphics[{Line[Box.Ro[t]],Line[Ito.Ro[t]],

Line[Lev[t].Ro[t]]}],

AspectRatio->Automatic,

Axes->True,PlotRange->{{-1,1},{0,1.5}}],{t,0,N[Pi/2]-0.001,N[Pi/24]}]