第5章　Mathematicaで複素数

北海道大学98年度

４．複素数平面において、複素数　1，1+2ｉ，2ｉ，z，ωを表す点を、それぞれＡ，Ｂ，Ｃ，Ｐ，Ｑとする。この時、次の問いに答えよ。
(1)点Ｐが線分ＡＢ上をＡからＢまで動くとき、複素数z²を表す点は、複素数平面上で、どのような図形をえがくか、式で表し図示せよ。
(2)△ＡＱＣが点Ｑを直角の頂点とする直角二等辺三角形になるとき、複素数ωを求めよ。

解答（1）
　点Pが点AからBまで線分ABを動くとき、z=1+ti (0≦t≦2)とおくとz²=1-t²+2ti
　z=x+yi（x，yは実数）と置くとx-1-t²，y=2tとパラメ−タ−表示できてtを消去すると、
　x=1-y²/4(1≦t≦2)より、0≦y≦4となる。

Mathematicaでプログラムすると複素関数f(z)=z²によって複素平面上の点が、どのような、もう一つの複素平面に写るのかを調べる問題である。

Module[{sy,sy2},

sy=Table[1+y I,{y,0,2,0.1}];

sy2=Map[{Re[#^2],Im[#^2]}&,sy];

Show[Graphics[{Table[Line[sy2],

{y,-3,3,0.5}]}],

Axes->True,AspectRatio->1]]

• 虚数単位は大文字Ｉで表す。
• 複素数ｚの実数部をＲe[z]
• 複素数ｚの虚数部をIm[z]
• 共役複素数をConjugate[z]
• 絶対値をAbs[z]

Module[{sx,sx2,sy,sy2},

sx=Table[x+y I,{x,-3,3,0.1}];

sy=Table[x+y I,{y,-3,3,0.1}];

sx2=Map[{Re[#^2],Im[#^2]}&,sx];

sy2=Map[{Re[#^2],Im[#^2]}&,sy];

Show[Graphics[{Table[Line[sx2],{y,-3,3,0.5}],

Table[Line[sy2],{x,-3,3,0.5}]}],

Axes->True,AspectRatio->1]]

北海道大学1998年度

が0以上2以下の実数であるような複素数z(z≠0)を表す複素平面上の点の集合を、式で表し、図示せよ。

解答
単にこの問題を解法するよりも、複素関数とは、どんな複素関数を表しているのだろうか？という事にに興味がもたれる。Mathematicaを使えば、複素数関数を幾何学的に経験することができる。今回は、「ExploringMathematicswithMathematica」（T・WグレイJ・グリン著）トッパンより「第19章複素写像あるいは錯綜したもの」より「ComplexMapPlot」というパッケ−ジをロ−ドして複素関数の幾何学的変化を見てみよう。

ComplexMapPlot[z/2+1/z,z,

RectangularGrid[{{-1,1},{-1,1}}]]

ComplexMapPlot[z/2+1/z,z,

PolarGrid[{0,0},{0.1,5}]]

いずれにしても、複素関数に関する問題も多く出題されておりこれらの、幾何学的な変化を見ることができるのは、とても楽しみな事である。

複素関数において、実軸上に中心があり、円周が点（-1，0）を通過する円の中心を実軸に沿って移動していくと、複素関数 で変換された図形はどんな形になるのであろうか？

Do[ComplexMapPlot[z/2+1/z,z,{Circle[{0.3,n},0.3+1]},

PlotRange->{{-2,3.5},{-2,2}}],{n,-0.3,0.3,0.05}]

更に、円の中心のＸ成分と半径を固定して虚軸に沿って円を移動していくと、複素関数で変換された図形はどんな形になるのであろうか？