係数ａ₀を求める際に、ａ₀に関する1つだけの波を残すために”面積”に着目しましたね。1周期の間にある定数波以外の波、つまりｓｉｎ波もｃｏｓ波も面積は全て0になりました。

　それではａ_nに関する波、すなわちｃｏｓ波の面積だけを残して、その他の波の面積を0にするような方法があるのでしょうか。

　そこに登場するのが”波のかけ算”という方法です。次のシミュレーションプログラムをみてください。左側は【A】〜【D】の4つの波とそれを合成した波【E】があります。右側には左側の【A】〜【E】の波に1番上にある波【W】をかけ合わせた波【A'】〜【E'】が表示されるようなっています。

　これを用いて、波と波のかけ合わせの規則性を探ってみましょう。

(1)　ｃｏｓ波×ｃｏｓ波、ｓｉｎ波×ｃｏｓ波

　まず、基本の波【W】をｃｏｓ波にして、ｃｏｓ波×ｃｏｓ波の様子を探って見ます。【A】〜【D】の波の周波数をいろいろ変えてシミュレートしてみましょう。

　このシミュレートにより基本の波【W】の周波数と同じ周波数を持つｃｏｓ波の面積だけが残り、それ以外の波の面積は0になるのが分かります。

　ｃｏｓ波と同様のことがｓｉｎ波についてもいえます。

　以上のことをまとめると次のようになります。

(2)　ｓｉｎ波×ｃｏｓ波

　それではｓｉｎ波とｃｏｓ波のかけ算はどうでしょうか。基本の波【W】をまずｃｏｓ波にして、【A】〜【D】の波を周波数の違うｓｉｎ波にしてみましょう。これをみると、かけ合わされた波はどれも面積が０になっています。

　同様のことが基本波をｓｉｎ波にして、かけ合わせる波をｃｏｓ波にした場合にも成り立ちます。

　(1)と(2)をまとめると、面積を残すには

とよいことが分かりました。