APPENDIX_1 「数学のいずみ あなたの意見」より
〜「数学のいずみ あなたの意見」に寄せられたメールから，最近のものを抜粋して掲載します．
- '99.8.5 東京都
突然のメールをご容赦ください。今年中１になった次男の数学に関する夏期課題の中で、どうしても解決できない問題があり、ネット上で該当項目を検索するうち「数学のいずみ」を知りました。WEB PAGEの主旨に沿わないとは思いますが、もし助けていただけるようでしたら幸甚です。
以前、長男の同様の課題（この時はフラクタル）では、アメリカの「THINK QWEST」に助けていただいたことがあり、ネットの有益性と関係者の姿勢に感謝しております。典型的文系の父としましては、二人の中学受験指導は大変でしたが、お陰で算数・理科については逆にこの年になって私自身、興味を抱くようになりました。そうした意味でも「数学のいずみ」は大変に興味深く、特にJAVAを利用したページのシミュレーションは楽しいです。全体に情報量の多さを感じさせない洗練されたWEBで、リンク設定や項目の整理も適切、かつ分かりやすく作られていると感じました。欲を言えば「キーワード検索」ができるようになると良いと思います。理系離れ、大学の易化、大学生の学力不足が指摘される昨今ですが、資源に恵まれないこの日本では知的資源の育成が極めて重要と考えております。そのためにも新しいメディアを駆使した「数学のいずみ」のようなアプローチから多くの子供、学生たちが啓発されれば素晴らしいですね。（中学生には少々、難解に過ぎますが・・・）
便宜上、ファイル(math-q.doc)を添付いたしますが、無害ですのでご安心ください。
- '99.6.29,7.1 PORTUGAL
Hello
I don't understand Japanese and I am not sure if any of you is responsible for the following web page:
http://www.nikonet.or.jp/spring/Plot3D/Plot3D.htm
Anyway I found a reference to a package "knife" which does similar things to what I intend to do. My question is: is this package available in the Web? If so, where? If I could use it, I would spare the time of writting one myself.
Thank you in advance.
Thank you very much for your indication. I already imported knife.m and the notebook and I shall try them soon.
Best regards
- '99.6.27
突然のお手紙失礼致します。現在、ネットワーク会社に勤めます。現在、「電気主任技術者第２種」と「電気管理士」の勉強を行っており、ラプラス変換がわからず、いろいろサイトを探していたら、このサイトに巡りあいました。みなさまの活動に共感し、メール致しました。
というのも、私は昭和５６年山形工業高校の電気科というところを卒業しましたが、その中でいろんな授業を受け印象的な授業があったので紹介したいと思いました。ご存知の通り、現在工業高校と言えば、あまり評判はよくないと思われます。又、当時都会の学校に文部省がカリキュラムを合わせているため、当時なぜか、高校の電気工学には微積分が出てこないんです。微積分無しで、電気工学をやることの方がもっと難しいような気がしますが。
そんな中、当時(高校２年生)の時に赴任してきた数学担任(津金 今朝雄 先生)が、当時の数学カリキュラムを２学期で終え、３学期すべてを「微積分の歴史」という授業をやってくれました。(その後、自主出版で「微積分理解の為の数学史ノート」という本にしたらしい。)
この中で、話してくれた「ゼノンの逆理」、「フェルマーの最終定理」，「ガロア」「アベール」その他、思想的なもの、考え方はいまだに私の中に残っています。
私は、その後１年後に卒業し、電機メーカーに就職し、現在ネットワークを作っておりますが、この授業がなかったら今更数学の勉強をやろうとは思わなかったでしょうし、電気工学もやっていないでしょう。
たまたま、そういう機会にめぐりあえて、「数学は解答(数字)を出すものではなく、それによる考え方、思想を展開していくものではないか。」というような考えをするようになりました。(成績は決してよいわけでは有りませんでしたが。)
現在、教育という点でいろいろな問題があるようですが、数実のみなさまがぜひ、「点数の取れる数学教育ではなく、心に残る数学教育」を実現されることを希望致します。
日本が、この局面の時「数学力」が低下していたり、センター試験の成績が他教科から比べて、極端に低かったりしている場合では無いでしょう。(単なるおやじの愚痴ですが。)
まして、今後「生涯学習」が騒がれ中では、現在学生だけではなく、おじさんもおばさんも勉強することが必要かと思われます。私も来年３７歳にして、大学に行きたいと思っています。専攻 当然数学でしょう。
みなさまの活躍に期待致します。それでは。
- '99.5.19/1.12, 岐阜県
"１０進BASICで描くグラフィックス"を授業で使いたいんですが、よろしいでしょうか。【第１回】から【第８回】までと「よく用いられる命令コマンド」等をダウンロードし、適当に編集し、授業プリントとして作成する予定です。２月８日から２６日の予定です。
教材を使わせていただいて、ありがとうございました。理数科だよりに反省の内容を載せました。今年度も、別の教員が同じ内容でコンピュータ実習を行う予定です。これからも、よろしくお願いします。
- '99.5.9,18 長崎県
大山先生 私は長崎県のへき地で獣医師をしております。高校時代は数学劣等生でした。数学ができないまま一生を終えることは何とも悔しいと思い独学で勉強しております。学習にインターネットが利用できないか検索したところすばらしいＨＰに巡り会えました。それが先生のページです。これから大いに勉強させていただきます。さて誠に恐縮では御座いますが合同式のページの内容について次の２点について御教授ください。自分の考えに誤りがあるのか悩んでおります。
（途中所略）
以上は私の考えに誤りがあるのでしょうか。宜しくお願いします。
大山先生 ネット上では内容について照会いたしても黙殺されることが多く、半ば諦めておりましたが、合同式について質問させていただいたところ、ご丁寧にも、お手紙を頂き感激いたしております。大山先生のような方にご指導を受けられる生徒さんたちが大変羨ましく思います。さて、私が高校生時代ですから、かれこれ２０年前でしょうか、当時は余りで分類する方法を参考書で学習した記憶が御座います。先生から御教授いただきました合同式は、この余りで分類する方法をさらに発展ないしは簡便化したものであると御察しいたします。慣れるまでに時間は掛かりましたが、幾つかの参考書で整数に関する問題に挑戦したところ正に切れ味抜群でした。こんな秘密兵器があったのですね。私事で恐縮ですが、私には３人の子供がおります。近い将来、不毛で絶望的とも思われる受験勉強に直面する事になるでしょう。その時までに私自身が力を付け子供達を指導できればと思っております。今後ともご指導下さいますよう心からお願い申し上げます。この度は、誠にありがとうございました。
- '99.3.25 岡山県
さっそく捜し物を見つけていただき感謝しています。先生の研究を見させていただいています。「すごい」の一言です。私もパソコンは１５年前から使っていますが、時代の流れについていけません。それでも、やれるところまでと思い、亀のようにやっています。３Ｄを扱ったＨＰなどとても興味を引かれます。ＶＲＭＬ（？）ですか？？ 何をどうしているのかも想像できません。（＾＾；）きっと近いうちにＨＰを使いながら授業をするようになるだろうなと、想像しています。先日、「遠隔授業」の実演ビデオをある講演会で見せていただきました。「２００５年には、このようになります」と、予想をされていました。まさに、リアルタイムに画像が出てきていました。 受験の数学だけではなく、「楽しい数学」を生徒と一緒にやりたいものです。
- '99.3.22 岡山県
こんにちは。数実のみなさんの活動に感嘆し、共鳴しているものです。高校数学はどこに向かっているのか全く検討がつかない昨今です。受験校にいて、年々下がっていく生徒の実力を見ていますと、今後どのようになるのか見当もつかず、毎日悶々として暮らしています。行き過ぎた教育内容も問題ですが、見通しのない指導案に振り回されています。何とかこの状況を変えていく方法はないものでしょうか。特に、生徒の計算力不足は数学の内容を教える以前の問題です。内容を理解する前に、結果があわないのですから、生徒は諦めてしまうのです。こんな愚痴ばかり言って申し訳ありません。 （途中略）
昨年の山口大会では、みなさんの研究発表をしっかり聞かせていただきました。わかりやすい授業をめざしたみなさんの研究努力に勇気づけられました。研究発表されているＨＰの写真の中に、私が写っていました。この年になってもうれしいものです。
- '99.3.20
はじめまして。僕はこの前中学を卒業したばかりです。４月からは高校生になり、いろいろなことで期待していますが、高校からの勉強が心配です。僕は数学に興味、感心があります。受験勉強が終わったら数学のおもしろさを追求しようと思っていました。
森 毅さんがかいた『すうがく博物誌』の中からおもしろいものを発見しました。それは『あみだくじ』についてです。けっしてあまったりかさなったりしないのは、考えてみるととても不思議になります。その本には、説明がなかったのでこのことについて知りたいです。もしこのことが、中学卒業したばりでも理解できるようならおしえてください。また、これからの数学のアドバイスもしてください。
- '99.2.20 新潟県
アドバイスありがとうございました。フリーのソフトをダウンロードして手に入れました。functionview と grapes を今いじって遊んでいます。思いのほかいろいろな機能があってびっくりしています。新年度の２次関数の授業でパソコンをプロジェクターにつないでグラフが動く様子を見せたいなあと思っています。これからも研究していきたいと思います。ありがとうございました。
- '99.2.17 愛知県
はじめまして。友人に教えられて、インターネットのホームページや数学セミナーに載せられた研究成果を知りました。たいへん興味深かったです。実はわたしもｆ（ｘ，ｙ）＋ｋ・ｇ（ｘ，ｙ）＝０…Ｃのタイプの方程式の表す図形について関心を持っています。特にｆ＝０，ｇ＝０が円 の場合については自分で調べたり、教えていただいたりしたことをまとめて発表したことがあります。（１９９８年８月・日数教・山口大会） 発表の要旨は以下のとおりです。
（途中略）
以上が昨夏の発表の要旨です。
現在関心は２つの方向に向かっています。ひとつは上のような教材研究を拡大する方向です。たとえばＣをｓ・ｆ（ｘ，ｙ）＋ｔ・ｇ（ｘ，ｙ）＝０とおけば中心はｔ：ｓに分ける点です。あるいは「連立不等式の領域」との関連や「円の接線の公式」や「アポロニウスの円」について気づくことがありました。
もうひとつの方向は生徒への還元です。もともと上の研究は生徒の「わかりにくい」という感想から始まりました。調べたりした結果わたしたちが得た知識をもとに教材を再構成し、生徒に数学の楽しさを体験させたいと思います。そのためにもよい教材をできるだけ多くの先生方と共有したいと考えています。これを機会に交流していただけたらと希望しています。
たいへん長くなってしまいましたが、「２円の交点を通る直線」の研究をされた先生方のお目に触れれば幸いです。インターネット初心者としましてはこのメールが無事届くかどうか心配です。ではさようなら。
- '99.2.1
突然メールで失礼します。
WEBサイト拝見しました。とっても興味深いです。私は、高校1年で数学に挫折してしまって、何年も数学と遠ざかっていました。
# 数学の先生の声がとっても優しくて毎回催眠術にかかったかのように眠り込んでいました(^^;
ところが、最近、趣味でちょこちょこいじっているPOV-Ray でモデラーを使わずに星の形を描こうとして数学関連のサイトを調べてるうちに、先生のページに辿り着きました。
数学が分かればもっと楽しい絵が POV-Ray で描けるのに…。と、思うともっと高校生のころ勉強してれば良かったなーなんて思います。
先生の POV-Ray First のページにあった"ばね状トーラス"面白いですねぇ。どうしてああなるんでしょうか(?_?)
これからも、面白いページ作り頑張ってください。できれば、POV-Ray Firstの作成例に解説が付いてると嬉しいな〜などと思います。
あ、そうそう、私と先生は同じ名前ですねー。私は名前で先生は姓ですけど。
- '99.1.23，27，28 東京都
先日、早苗先生の｢コーヒーカップの描く軌跡｣をインターネットで拝見させていただきました。実際に私もコーヒーカップの動きをシュミレーションしてみたいと思ったので、このプログラムを実行しようと思ったのですが、実行しようとすると「カスタムコントロールＤＬＬ'ＳＰＩＮ３２．ＯＣＸ'が読み込めません。または登録できません。」という表示が出て、実行することができません。パソコンを使い始めてまだ日が浅く、どうしたらいいのかわからないため、今回このメールを送らせていただきました。お忙しいこととは思いますが、返事をお願いいたします。
このシュミレーションを自分で行ってみて、なにか気が付いた点があったら、またメールを送りたいと思っています。
カスタムコントロールＳＰＩＮ３２．ｏｃｘの件、どうもありがとうございました。早速、実行してみました。
実はこれを使って、数学の授業を何か新しい観点で見ていくことはできないだろうかと考えています。私が高校生のとき、覚えなければならないことが多いなあ、と思いながら数学の授業を受けていたことがありました。本来、数学とは覚えるべきものではないと思うので、こう感じた私の勉強方法がおかしいのかもしれませんが、もし数学のカリキュラムを変えることで、こう感じる要素が少なくなれば、もっと数学を好きになる人が増えるのではないかと考えています。
まだまだ勉強不足で（と言っても、もう大学4年生ですが）どうしたらいいのかよく分かりませんが、自分なりにいろいろ考えてみつけていきたいと思っています。
いきなりいろいろ書いてしまって、どうもすみません。また何かあったらメールを送りたいと思います。迷惑でなければ、先生もメールを送って下さい。
「コーヒーカップの描く軌跡」の中の、大･中2つの円盤を動かした軌跡の規則性について、"回転する速さの比が簡単な小数の場合"の部分を見させていただきました。
大円盤と中円盤の速さの比が、１：1.5のときと、１：2.5のときに、"折り返しの個数が2個と4個になる"とあるのですが、その数え方がよく分かりません。
"折り返し"の定義を教えて下さい。度々申し訳ありません。
- '99.1.18
はじめまして。当方、中年の電子技術者です。 本日、別件でサーチしていたところ偶然にも貴会のホーム・ページを拝見いたしました。多くの先生方が熱心に数学教育について議論・実践されているのに驚きかつ敬服いたしました。とても魅力的なページで、今後とも拝見させて頂きたいと思っております。
絶対値不等式についての「まなぶ法」の議論、興味深く読ませて頂きました。数学教育上の吟味は出尽くしているようですので、門外漢から、「○か×か」についての私見を簡単に述べてみます。
もし、○か×かの二者択一ならば、○しかないのではないでしょうか？仮に、この問題に５点配点されている場合には部分点として４点は与えても良いくらいの解答かと思います。
教育上は、中村氏の指摘された通り、教師が「まなぶ法」の様な距離概念を使った解法の指導を注意深く避けるのが実践的な方法でしょうが、もしこの様な解答が提示された場合には、○か×かと問われれば、小生なら迷わず○にしたいですね。ところが、貴会の議論を読んでいると、プロの先生方の雰囲気は×の方に傾いているように感じられましたし、○か×かの声が明確に提出されていないようですので、あえて、このメモを書いております。
この(解２)答案者は確かに「よく理解している」状況ではないですし、みかけの解の吟味もしていないとしたら、この種の解答を「正解」とするのに躊躇する気持ちも理解できます。しかし、中村氏のご指摘の通り、論理上決定的に間違っていると言えない以上また、最終的な解答が正しい以上、答案者が理解不十分と認めつつも、○と判定するほかないのではないかというのが私見です。現実的にも、これがもし選択形式の解答である場合には途中経過に関係なく両方とも○なわけですから。(ネガティブな表現ですが、ポジティブには(解１)と(解２)との理解度の差はあまり無いと思えるので。つまり、(解１)の答案者が(解２)の答案者よりも理解度が上とは必ずしもいえないので。)
また、授業中の指導とは異なった「いかがわしい解法」を使って「けしからん」というような見地からの減点もいかがなものでしょうか？
コメントしたいことはまだ幾つかありますが、時間の制約がありますので、これ位にしておきます。
今後とも貴会のご発展を祈念いたします。
- '98.12.18,21,22 大阪府
はじめまして。
数学のいずみの記事は興味深いものが多く，楽しく読ませていただいております。
さて，清水貞人氏の「ペクトルの内積の導入について」についてコメントしたいことがありますのでメールを差し上げた次第です。
#ベクトルの矢印が出ませんので，普通の文字で書きます。
清水氏は，平面ベクトルの内積について，a・b=a1b1+a2b2を定義とすることを提案されています。
しかし，高校ではn次元数ベクトル空間を学ぶわけではなく，有向線分の同値類として図形的に定義されているので，a・b=a1b1+a2b2を定義とすると，well-definedであるかどうか，つまり，座標のとり方によって内積の値が異なることはないのかという問題が生じてきます。
もちろん，あとで，a・b=|a||b|cosθであることを証明すれば数学的にはその問題は解消するのですが，成分表示を定義としてしまうと，どうしても内積をみると座標を連想してしまうようになるのではないでしょうか。
この結果，図形問題で，座標系を導入すると，大変な計算が必要になるような問題でも，無理に座標系を導入しようとするようなことが生じてしまうように思えます。
また，授業例として，値段ベクトル，個数ベクトルを用いていますが，これは，行列の積の定義の説明のときには役立つかもしれませんが，ベクトルのときにこのことを言うと，ベクトルは平面上の矢印（厳密にはその同値類ですが）だと今まで思っていた生徒にしてみれば，いきなり，何だか関係のないものが出てきたような印象を受けるのではないでしょうか。
そして，そのあと，余弦定理を用いるなど，幾何的なベクトルに戻っていますので，導入部分があまりにも浮いている気がします。
例えば，値段ベクトルと個数ベクトルのなす角って何ですかと質問されれば，困ってしまうのではないでしょうか。
以上の理由から，私は，従来どおり，a・b=|a||b|cosθを定義とし，a・b=a1b1+a2b2は定理であるとする方が良いと考えます。
私は，高校生なので，授業をしたことはなく，教員の方の目から見れば，また別のご意見も出てくるかと思います。
ご意見をお聞かせ下さい。
清水貞人様
ご返事どうもありがとうございます。
「一般のベクトル空間の要素としてのベクトル」という概念に発展させるための一助として，a・b=a1b1+a2b2を定義とするというご趣旨だったと思います。
私も，数学的にはより重要であり，抽象性の一歩高まった「ベクトル空間」の概念を教えることは有意義であると考えます。ただ，高校で極限の最初にイプシロンデルタを教えることがないように，初めはある程度具体的な例から出発して，その概念に十分習熟した上で，もう一歩抽象性の高いものを学ぶのでなければ，理解が著しく困難になってしまうことはご理解いただけると思います。
#イプシロンデルタのように定義をあいまいにしているのとは意味が違うかもしれません。その場合でも，直観的な理解なしに，イプシロンデルタを定義と教えられても，意味がのみこめず，まるおぼえしてしまうかもしれないので，直観的な理解を土台とした練習をある程度積み重ねてから，厳密な定義をもとにした微積分を学ぶべきだと考えます。
そのために，もし私が内積の授業をするなら，
1．a・b=|a||b|cos\thetaを定義とする（\thetaはシータです）。
2．a・b=a1b1+a2b2を定理として教える。
3．ベクトルのまとめとして，一般のベクトル空間についてふれる。
このとき，逆に，\sum aibiや，定積分\int f(x)g(x)dxを内積の定義とする\sumはシグマ，\intはインテグラルです）こともしばしばあるということをいう。
のようにすると思います。
こうすれば，Cauchy-Schwarzの不等式の，和バージョンや積分バージョンとの関連も明らかになるかもしれません。ただ，ベクトルは数B，区分求積法は数IIIなので，定積分と和との関係は分かりにくいかもしれません。
また，添付ファイルについてですが，第1用法，第2用法，第3用法というのは，小学校でいう比の3用法のことなのでしょうか？