毎週水曜日定期発行 Weekly Mathematics Magazine

《数学通信》 MAT-60　1993.9.29(Wed)

★無限を見つめる．★〜Part3無限の不思議〜

下の三角形の図を見てほしい．

三角形ABCは正三角形．

各辺の中点をD,E,Fとし，DE,FEを結ぶ．

同じように，三角形DBFについても各辺の中点をG,H,Iとし，GH,HIを結ぶ．

以下同様の作業を続けていき、左図のような三角形を描く．

いま，BからAを通りCへ行く道のりを考える．これをB〜A〜Cと表す．

D,E,Fは各辺の中点であるから，AD=DE,AF=FE。従ってB〜A〜Cは，B〜D〜E〜F〜Cとしても同じである．（∵AB=2DB=DB+DE,AC=2FC=FE+FC）

同じように考えていくと，次のようになる．

B〜A〜C＝B〜D〜E〜F〜C

＝B〜G〜H〜I〜E〜J〜K〜L〜C

＝B〜M〜N〜O〜H〜P〜Q〜R〜E〜S〜T〜U〜K〜V〜W〜X〜C

＝B〜Y〜Z〜ア〜N〜イ〜ウ〜エ〜H〜オ〜カ〜キ〜Q〜ク〜ケ〜コ〜E〜サ〜シ〜ス〜T〜セ〜ソ〜タ〜K〜チ〜ツ〜テ〜W〜ト〜ナ〜ニ〜C

＝……

さて，この作業を永遠に続けていくとどうなるだろうか？

BA+AC=BCとなるように見えるよね．

だって，無限に上の図の作図を繰り返していくのである．最後には，書ききれなくなるだろうし，B〜A〜CはBCに重なる．

ということは，１辺の長さをaとすると，

2a=a(a≠0)というおかしな式が成り立つことになる．

ウ〜ンこれはどう説明したらいいのだろう？

ちょっと考えてみてほしい．このあたりの内容は，来年の『微分・積分』の学習内容につながっていくところであるから，Ｂコースの者は特にネ．

無限を考えていくと，いろいろと不思議なこと，おかしなことがでてくる．上の例もその一つである．

ついでにもう一つ．

自然数の集合を考える．この集合の中味としては，

1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,・・・といったものが具体的にあげられるが，その個数は？と聞かれると，「無限個」…�@と答えざるを得ない．そりゃそうだ．自然数には終わりがない．無限につながっているのである．だから個数も無限個である．それは正しい．

では，次に，整数の集合を考える．この集合の中味は，

とあげられ，やっぱり，その個数はと聞かれれば，「無限個」…�Aと答えざるを得ない．

同様に，有理数の集合を考える．・・・-2,・・・,-√2,・・・,1,・・・,√3,・・・の様に表すことができ，個数はやっぱり「無限個」…�Bである．

さて，ここで問題である．

�@，�A，�Bの個数は，どれも無限個である．では，どの無限個という大きさも同じなのだろうか？それとも，�@の無限個と，�Aの無限個とでは，同じように無限個と読んでいるが，その個数に違いはあるのだろうか？

単純に考えれば，�@の無限個は〜始まって，正の方向への無限である．それに対して，�Aの無限個はを基準にして，左右への無限である．個数としては，�Aの方が�@の２倍+1だけの個数があるように思える．

が，現実はそれほど簡単ではない．

「無限」とは数え切れない＝数えられない，という概念である．数え切れない，数えられないものに対して，数えられるものの個数の概念を持ち込んだところで，その概念が通用するという保障もない．

だからそんなに簡単に２倍ある，とは言えないのである．このあたりの概念は難しい．それこそかなりの理論構築をしなければいけないし，並の理解力では理解し難い．

が，これだけは言っておこう．

無限にも，小さな無限と，大きな無限があるのである．こんなことを言うと，またわからなくなるかな？ただし，だからといって�@の２倍が�Aということではない．

が，�@が一番小さな無限の集合であることに間違いはない．

縁があれば，機会があれば，また無限の話しをしよう．〜終〜

Printed in Tounn.1993. Written by Y.O^kouchi.1993. Copyright 1987,1993 MAT Inc. MAT is Mathematics Assist Team Corporation.