作図可能なP(n)のｆによる像もまた作図可能である。

ということになる。その証明のための準備を少ししよう。

Nature5 x軸上の点はすべて不動点である。(y=0は不動直線である)

　x軸上の点を(k，0)とすると、
　　　　
より明らかである。なお、y=0以外の不動直線についても調べておこう。
　であればよいから、　とおくと、
　　　
より、(ｘ＋cotθ･ｙ)ｙ＝cosecθ･ｙｘ、(ｘsinθ＋ｙcosθ)ｙ＝ｘｙ
　　　∴　不動直線は、
ここで、
であるから、x軸の正の方向となす角がである直線が不動直線である。

Nature6 直線群は、fにより、直線群に変換される。

　 　これは、一次変換fが、　であることと、x軸上の点が不動点であることから分かる。
　　　のベクトル方程式は、であるから、
　　　　

　このNature6から、新世界におけるy座標軸が確定する。一次変換fは、x軸方向のずらしを表す変換であったが、この変換の特徴は同じ傾きのものを同じ角度だけずらすということである。表現行列Tの場合は、その角度は90°−θである。
imageとしては、この変換は次のように捉えればよいだろう。
　原図のP(n)はもちろんx-y直交座標上の図形であり、それがfによる斜交座標上の新図に変換される。これを、もともとの図形をx軸と直線P₀P_n-1を軸とする斜交座標とみれば、相対的にはfにより直交座標へ変換されることになる。ただ、新図においては軸の目盛間隔が、一定ではない(ある意味では一定だが)。よって、目盛幅をplotできれば、新世界における新図の作図ができることになる。
　それをNature6の性質が可能にする。

　では実際に作図をしてみよう。

適当なP(n)を描く。 二頂点PkとPn-k-1を結ぶ直線をすべての頂点について引く。 (ｎが奇数の場合、頂点については、その頂点を通り他の直線に平行な直線を引く。) (b)で引いた直線とx軸との交点を通る点を新世界の目盛幅とする。 x軸上の目盛幅をy軸上に同じ幅に取る。 新しく作られた格子点上に、直線y=xに関して対称になるように P(n)の頂点を移す。

　以上の操作で新世界における新図が完成する。
　ただ、これだけでは単に描けるというだけで、実際の問題への応用はできない。
　そこで次にこの新世界での目盛幅の規則性を考えてみよう。

Nature7 新座標軸の目盛をとすると、 　　　である。

　まず、P_kの座標を求めよう。

　より、となる。
　以下、同様に
　　　
　　　
　これより、直線P_kP_n-k-1の方程式は、　
　よって、x軸との交点R_k(x_k,0)
　　　
　　　　以上より、