複素数はどのような変換によって特徴づけられるであろうか。
　複素数の概念を明確にする為には次の３つの事柄が本質的なことである。

1. 虚数単位ｉとはｉ²＝−１を満たす。このような数ｉとは如何なる変換から導かれるのか。
2. 実数ｂと虚数単位ｉとの積とはどのような意味をもつのか。
3. ａとｂｉとの和とは何を意味するか（但しａ、ｂは実数)

　ここで平面ペクトルの集合Ｕを考える。∈Ｕに対してπ/２回転移動したベクトルを^*∈Ｕとする。

　＝(||、θ)とすると^*＝(||、θ＋π/２)となる。

　ここで次のように定義する。

《定義》

平面ベクトルの変換：├→^*を虚数単位を特徴づける変換と呼びｉで表わす。
すなわち、ｉ；├→^*
また　ｉ；├→ｉとすると^*＝ｉ、
つまり変換ｉとは平面ベグトルをπ/２回転させる変換である。

図で＝₁、＝₂、＝₃とする。

　Ｏを中心とするπ/２回転によって、点Ａ、点Ｂは、それぞれ点Ｃ、点Ｄに移るとする。このとき
　　　＝₁^*、＝₂^*、＝₃^*
となる。

今、＝＋に上式を代入して
　　　₃^*＝₁^*＋₂^*　・・・�@

　ここで
　　　₃＝＝＋＝₁＋₂、
　　　₁^*＝ｉ₁、₂^*＝ｉ₂、₃^*＝ｉ₃
を�@に代入する。
　　　ｉ₃＝ｉ(₁＋₂)＝ｉ₁＋ｉ₂
　　　∴．　ｉ(₁＋₂)＝＝ｉ₁＋ｉ₂
よって変換ｉは線型である。

　次に合成変換ｉ･ｉについて考える。
　　　ｉ；├→^*　続いて　ｉ；^*├→(^*)^*
よってｉ･ｉ；├→(^*)^*となる。

＝(||、θ)とすると
　　　^*＝(||、θ＋π/２)、
　　　(^*)^*＝(||、θ＋π/２＋π/２)
よって(^*)^*＝(||、θ＋π)＝−
従ってｉ･ｉ；├→−となりこの変換は(−１)；├→−と同じ変換である。
よってｉ･ｉ＝−１、合成変換ｉ･ｉと略記することにすれぱｉ²＝−１となる。

　続いてｉと実数ａとの積は可換であることを示す。

　これは合成変換ｉ･ａとａ･ｉとが同じ変換であることを示すことになる。
　　　ａ･ｉ；├→ａ(ｉ)
　　　ｉ･ａ；├→ｉ(ａ)
であるから結局はａ(ｉ)＝ｉ(ａ)となることを確かめればよいのである。

ａ＝０と＝の場合は自明なので省略し、ａ≠０、そして＝(||、θ)として考える。

(�@)ａ＞０のとき

　　　ａ(ｉ)＝ａ(|、θ＋π/２)＝(ａ||、θ＋π･２)
　また、ｉ(ａ)＝ｉ(ａ||、θ)＝(ａ||、θ＋π/２)
　よってａ(ｉ)＝ｉ(ａ)

(�A)ａく０のとき

　ａ＝−ｂ(ただし、ｂ＞０)とおける。
　　　ａ(ｉ)＝−ｂ(ｉ)＝−ｂ(||、θ＋π/２)
　　　　＝(ｂ||、θ＋π/２＋π)
　　　　＝(ｂ||、θ＋３π/２)
　　　ｉ(ａ)＝ｉ(−ｂ)＝ｉ(ｂ^')＝ｉ(ｂ||、θ＋π))
　　　　＝ｉ(ｂ||、θ＋π)＝(ｂ||、θ＋π＋π/２)
　　　　＝(ｂ||、θ＋３/２π)
よってａ(ｉ)＝ｉ(ａ)

　以上よりいずれの場合もａ(ｉ)＝ｉ(ａ)となるから、変換ａｉと変換ｉａとは同じ変換であるからａｉ＝iａとなる。今後はこれをａｉ＝ｉａと表わすことにする。

　次に２つの変換ａとｂｉとの和を考える。
　　　ａ；├→ａ
　　　ｂｉ；├→ｂ(ｉ)
より
　　　ａ＋ｂｉ；├→ａ＋ｂ(ｉ)
となる。これは
　　　ａ＋ｂｉ；ａ├→ａ＋ｂ^*
と考えてもよい。

　つまり変換ａ＋ｂｉはにａ＋ｂ^*を対応させる変換である。

　この変換の和ａ＋ｂｉは線型であることを示そう。まず
　　　ａ＋ｂｉ；├→ａ＋ｂ(ｉ)はａ＋ｂｉ；├→(ａ＋ｂｉ)
なのであるから
　　　(ａ＋ｂｉ)＝ａ＋ｂ(ｉ)
となる。

　次に任意の２つのベクトル₁、₂に対して、
　　　ａ；₁＋₂├→ａ(₁＋₂)
　　　ｂｉ；₁＋₂├→ｂ(ｉ(₁＋₂))
の２つの変換を考える。

　これよリ２つの変換の和は
　　　ａ＋ｂｉ；₁＋₂├→ａ(₁＋₂)＋ｂ(ｉ(₁＋₂))
となる。
　　　ａ＋ｂｉ；₁＋₂├→(ａ＋ｂｉ)(₁＋₂)
であるから、
　　　(ａ＋ｂｉ)(₁＋₂)＝ａ(₁＋₂)＋ｂ(ｉ(₁＋₂))
となる。

　ｉの線型性は既に確かめてあるので、
　　　ｉ(₁＋₂)＝ｉ₁＋ｉ₂
よって
　　　ｂ(ｉ(₁＋₂))＝ｂ(ｉ₁＋ｉ₂)＝ｂ(ｉ₁)＋ｂ(ｉ₂)
従つて
　　　(ａ＋ｂｉ)(₁＋₂)＝ａ(₁＋₂)＋ｂ(ｉ(₁＋₂))
　　　　＝ａ₁＋ａ₂＋ｂ(ｉ₁)＋ｂ(ｉ₂)
　　　　＝ａ₁＋ｂ(ｉ₁)＋ａ₂＋ｂ(ｉ₂)
　　　　＝(ａ＋ｂｉ)₁＋(ａ＋ｂｉ)₂
となり、ａ＋ｂｉの線型性が証明される。