(�@)相等

　ａ＋ｂｉ；├→ａ＋ｂ^*
　ｃ＋ｄｉ；├→ｃ＋ｄ^*
この２つの変換において
　　　ａ＋ｂ^*＝ｃ＋ｄ^*
とおくとと^*の独立性よりａ＝ｃ、ｂ＝ｄが得られる。このとき２つの変換は同じ変換ということになるのでａ＋ｂｉ＝ｃ＋ｄｉよりａ＝ｃ、ｂ＝ｄが得られる。

(�A)加法

α＝ａ＋ｂｉ、β＝ｃ＋ｄｉに対して
　　　α；├→α
　　　β；├→β
を考える。
このとき
　　　α＋β；├→α＋β
であるが、これは
　　　α＋β：├→(α＋β)
でもある。従って、
　　　(α＋β)＝α＋β＝(ａ＋ｂｉ)＋(ｃ＋ｄｉ)
　　　　＝ａ＋ｂ^*＋ｃ＋ｄ^*＝(ａ＋ｃ)＋(ｂ＋ｄ)^*
　　　　＝(ａ＋ｃ)＋(ｂ＋ｄ)ｉ
　従つて
　　　α＋β；├→(ａ＋ｃ)十(ｂ＋ｄ)ｉ
であり、
　　　(ａ＋ｃ)＋(ｂ＋ｄ)ｉ；├→(ａ＋ｃ)＋(ｂ＋ｄ)ｉ
であるから変換α＋βと、変換(ａ＋ｃ)＋(ｂ＋ｄ)ｉとは同じ変換である。
よって
　　　α＋β＝(ａ＋ｂｉ)＋(ｃ＋ｄｉ)＝(ａ＋ｃ)＋(ｂ＋ｄ)ｉ
となりここに複素数の加法の計算規則が導かれる。

(�B)減法

(�C)乗法

　次にαβ；├→α(β)について考える。
　まず
　　　ｉ^*＝(||、θ＋π/２)＝(||、θ＋π/２＋π/２)
　　　　＝(||、θ＋π)＝−
である。
　　　α(β)＝α(ｃ＋ｄ^*)＝(ａ＋ｂｉ)(ｃ＋ｄ^*)
　　　　＝(ａ＋ｂｉ)(ｃ)＋(ａ＋ｂｉ)(ｄ^*)
　　　　＝ａ(ｃ)＋ｂｉ(ｃ)＋ａ(ｄ^*)＋ｂｉ(ｄ^*)
　　　　＝ａｃ＋ｂｃ(ｉ)＋ａｄ(ｉ)＋ｂｄ(ｉ^*)
　　　　＝ａｃ＋ｂｃ(ｉ)＋ａｄ(ｉ)＋ｂｄ(−)
　　　＝(ａｃ−ｂｄ)＋(ａｄ＋ｂｃ)ｉ
　　　(ａｃ−ｂｄ)＋(ａｄ＋ｂｃ)ｉ；├→(ａｃ−ｂｄ)＋(ａｄ＋ｂｃ)ｉ
であるから変換αβと変換(ａｃ−ｂｄ)＋(ａｄ＋ｂｃ)ｉとは同じ変換である。
よって
　　　αβ＝(ａ＋ｂｉ)(ｃ十ｄｉ)＝(ａｃ−ｂｄ)＋(ａｄ＋ｂｃ)ｉ
となる。
この式から複素数の乗法が可換であることもわかる。

(�D)除法

(ａ＋ｂｉ)Ｗ＝１となるようなＷを
　　　Ｗ＝１/(ａ＋ｂｉ)
と定義する。Ｗ＝ｐ＋ｑｉとおいて既に確かめられた諸体質をもとにして計算してみよう。
(ａ＋ｂｉ)Ｗ＝(ａ＋ｂｉ)(ｐ＋ｑｉ)＝１とおくと
　　　(ａｐ−ｂｑ)＋(ａｑ＋ｂｐ)ｉ＝ｌ
となる。よって
　　　ａｐ−ｂｑ＝１、ａｑ＋ｂｐ＝０
が得られ
　　　ｐ＝ａ/(ａ²＋ｂ²)、ｑ＝−ｂ/(ａ²＋ｂ²)
となる。よって
　　　Ｗ＝ｐ＋ｑｉ＝ａ/(ａ²＋ｂ²)−ｂｉ/(ａ²＋ｂ²)
となる。つまり
　　　ａ＋ｂｉ＝ａ/(ａ²＋ｂ²)−ｂｉ/(ａ²＋ｂ²)
となる。そこで複素数の除法を次のように定義する。