座標平面上の原点Ｏを中心とする半径1の円に内接する正五角形の頂点を順にP0,P1,P2,P3,P4とする。ただし、P0の座標は(1,0)である。この正五角形を用いてcosπ/5の値を求めよう。 とするとき、点Q1,Q2は直線OP0上にある。 したがって、 によって定まる点Qは直線OP0上にある。同様にして、点Qは直線OP1上にあることもわかる。したがって点Qの座標はである。 　ゆえに、a=cosπ/5,b=cos2π/5とおくと が成り立つ。 　さらに、余弦定理よりであり、 また、であるから が成り立つ。 　よって、である。

点の座標が指定されているので（図１）を用いて考えることにすればよい。
下の図のABCDEがそれぞれP₀,P₁,P₂,P₃,P₄でa=1の場合として考えると良い。
とすると、
　点QはOP₀上にあり、かつOP₁上にもあるとすると、QはOP₀とOP₁との交点、つまりOでなければならない。
よって、。ゆえにQ(0,0)
よって、2cos2π/5-2cosπ/5+1=0・・・�@
cos2π/5=b,cosπ/5=aとおくと、2b-2a+1=0・・・�A
△OP₀P₁について余弦定理を適用する。
　　P₀P₁²=1²+1²-2×1×1cos2π/5
　　∴P₀P₁²=2-2b・・・�B
更に正五角形であるから
　　P₀P₁=P₂P₃ =sinπ/5-(-sinπ/5)=2sinπ/5
　　∴P₀P₁²=4sin²π/5 =4(1-cos²π/5)=4(1-a²)・・・�C
�Cを�Bに代入して、2-2b=4(1-a²) これに�Aより2b=2a-1を代入。2-(2a-1)=4(1-a²)
　　∴4a²-2a-1=0、
　　　　cosπ/5＞0より