微分係数と導関数

　一般に、関数ｆ（ｘ）でｘがａからａ＋ｈまで変わるときの平均変化率において、ｈ→０のときの極限値 ｌｉｍ を関数ｆ（ｘ）のｘ＝ａにおける微分係数または変化率といい、記号ｆ’（ａ）で表わす。

定義　一般に　ある関数ｙ＝ｆ（ｘ）のｘ＝ａにおける微分係数 　　　ｆ’（ａ）＝

練習問題

1. ｙ＝ｘ^２で表わされる斜面の落下運動について、１秒後の瞬間速度（ｙ＝ｘ^２ のｘ＝１における微分係数）を求めよ。

   時間　　　ｘ秒	１　　　　　１＋ｄｘ
   距離　　　ｙｍ	１

   　　　 　 　

2. ｙ＝ｘ^２で表わされる斜面の落下運動について、２秒後の瞬間速度（ｙ＝ｘ^２のｘ＝２における微分係数）を求めよ。

   時間　　　ｘ秒	２　　　　　２＋ｄｘ
   距離　　　ｙｍ	２

3. ｙ＝ｘ^２で表わされる斜面の落下運動について、４秒後の瞬間速度（ｙ＝ｘ^２のｘ＝４における微分係数）を求めよ。

   時間　　　ｘ秒	４　　　　　４＋ｄｘ
   距離　　　ｙｍ	４

　このようにｙ＝ｘ^２の斜面の落下運動において、
　　　　０秒後の瞬間速度　０ｍ／秒
　　　　１秒後の瞬間速度　２ｍ／秒
　　　　２秒後の瞬間速度　４ｍ／秒
　　　　３秒後の瞬間速度　６ｍ／秒
　　　　４秒後の瞬間速度　８ｍ／秒
　　　　　　　・・・・・・

となって、時間に速度が比例しているように思える。このことを確かめるために、一般にｘ秒後の瞬間速度を表わす式を求めてみよう。

問題　ｙ＝ｘ^２で表わされる斜面の落下運動について、ｘ秒後の瞬間速度を求めよ。

　ｘ秒後の距離ｙｍを表わすｙ＝ｆ（ｘ）に対し、ｘ秒後の速度を表わす関数を関数ｆ（ｘ）の導関数という。
　　これをｆ′（ｘ）とかｙ′とも表わす。

問題　ｙ＝ｘ^２で表わされる斜面の落下運動について、ｘ秒後の瞬間速度を表わす導関数ｙ′＝２ｘ　のグラフを書け

　�A　５秒後、６秒後の瞬間速度を求めなさい

問題　地球上の自然落下運動では、ｘ秒後の距離ｙｍはおよそ　ｙ＝５ｘ^２で表わされる。このときのｘ秒後の瞬間速度ｙ′ｍ／秒 を表わす導関数を求めよ。

　�A１秒後２秒後３秒後の瞬間速度を求めなさい。

問題　一般的に　ｙ＝ａｘ^２ の導関数ｙ′を求めなさい。

練習問題　次の関数の導関数を求めよ。

　�@　ｙ＝３ｘ^２

　�A　ｙ＝４ｘ^２

　�B　ｙ＝７ｘ^２

　�C　ｙ＝4.9ｘ^２