（２）二項定理または数学的帰納法を用いる。

（３）（２）を利用、すなわち「偶数±１＝奇数」の変形を考える。
　　　０＜ｘ＜１ならば０＜ｘⁿ＜１

（４）αβ＝１より　(αβ)ⁿ＝１　　ゆえに　βⁿ＝１/αⁿ

（２）α²＝Ａ とおく
　　　
同様に　
ゆえに　
よって　αⁿ＋βⁿ　は偶数となる。

（３）（２）より αⁿ＋βⁿ＝２Ｔ　(Ｔ：整数)とおく。
　　βⁿ＝２Ｔ−αⁿ＝２Ｔ−１＋(１−αⁿ)
ここで、０＜α＜β，αβ＝１ より　０＜α＜１，０＜αⁿ＜１
ゆえに　０＜１−αⁿ＜１
βⁿ の整数部分ｍは２Ｔ−１となり、奇数である。

（４）βⁿ＝ｍ＋ｓ …�@
（３）より　ｓ＝１−αⁿ　　αⁿ＝１−ｓ …�A
ここで　αⁿβⁿ＝(αβ)ⁿ＝１
　　βⁿ＝１/αⁿ
�@�Aより ｍ＋ｓ＝１/(１−ｓ)
よって　ｍ＝１/(１−ｓ)−ｓ