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解 答 3

着眼点

(1)αβの値は(4)のヒントとなっている。

(2)二項定理または数学的帰納法を用いる。

(3)(2)を利用、すなわち「偶数±1=奇数」の変形を考える。
   0<x<1ならば0<xn<1

(4)αβ=1より (αβ)n=1  ゆえに βn=1/αn

解答例

(1) 解の公式より よって、
解と係数の関係より αβ=1

(2)α2=A とおく
   
同様に 
ゆえに 
よって αn+βn は偶数となる。

(3)(2)より αn+βn=2T (T:整数)とおく。
  βn=2T-αn=2T-1+(1-αn)
ここで、0<α<β,αβ=1 より 0<α<1,0<αn<1
ゆえに 0<1-αn<1
βn の整数部分mは2T-1となり、奇数である。

(4)βn=m+s …①
(3)より s=1-αn  αn=1-s …②
ここで αnβn=(αβ)n=1
  βn=1/αn
①②より m+s=1/(1-s)
よって m=1/(1-s)-s

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