着眼点 |
(2)二項定理または数学的帰納法を用いる。
(3)(2)を利用、すなわち「偶数±1=奇数」の変形を考える。
0<x<1ならば0<xn<1
(4)αβ=1より (αβ)n=1 ゆえに βn=1/αn
解答例 |
(2)α2=A とおく
同様に
ゆえに
よって αn+βn は偶数となる。
(3)(2)より αn+βn=2T (T:整数)とおく。
βn=2T-αn=2T-1+(1-αn)
ここで、0<α<β,αβ=1 より 0<α<1,0<αn<1
ゆえに 0<1-αn<1
βn の整数部分mは2T-1となり、奇数である。
(4)βn=m+s …①
(3)より s=1-αn αn=1-s …②
ここで αnβn=(αβ)n=1
βn=1/αn
①②より m+s=1/(1-s)
よって m=1/(1-s)-s