―私の数学散歩道(28)―幾分 難解な三角方程式について
 @Author Youichi.Murata  @Version1.00;4.Jun.2016
 今回 下記の3 題の方程式を考えました。とくに(1)は 遊び心で作ったもので 見掛けは 簡単ですが、解くのは大変です。問題作成の鍵は「初めに解ありき」です。
 θx の値を決めそれらの倍角や三倍角等、三角関数の種別と前後の符号などを考えて 等式を設定します。従って このように作った方程式がいつも解けるとは限りません。
 候補の中から選ばれたものが問題として提起される訳です。

―私の数学散歩道(27)―高階の階差を持つ数列の一般項・漸化式とその和について
 @Author Youichi.Murata  @Version1.00;30.Jan.2016
 何個かの項の数列が与えられその一般項を求めよ、という問題をよく見ます。 階差から数列の規則性を見つけ計算しますが、一般項の証明を要求していないため、それだけ では一般項が正しいかどうかが気になりました。
 そこでSnの成立を数学的帰納法で証明しSnSn-1an (n≧2,かつa1S1 n=1) からanの正しさを確認、併せて漸化式を計算しました。類似の問題は探した範囲では見当りませんでしたが、漸化式や和を持つ数列のanは推定でも正しいためでしょう。
 数列は等比数列と雑数列を組み合わせ試行錯誤で作成、問題も適宜纏めたものです。

―私の数学散歩道(26)―三角・対数・指数等の各種方程式について
 @Author Youichi.Murata  @Version1.00;28.Nov.2015
 今回下記の4題の方程式を考えます。
(1)は 201年防衛医大の問題を120°=α,0°<α<360°として他にも解がないかを含めて方程式の問題に転化 したものです。これを方程式にするとあまり見たことのない式変形が現われ、興味を覚える解答になりました。
(2)〜(4)は自作問題で,とくに(4)で現れた11 次の高次方程式が正の実数解を持たないことを示すのに苦労しました。 微分法では高次導関数が出てきて纏めにくく掲載の通りとしました。 良い解答が見つかればご教示ください。

―私の数学散歩道(25)―1997センター入試(追試験)数学U・数学B 第1問(1)の別解検討
 @Author Youichi.Murata  @Version1.00;3.Oct.2015
 センター試験の過去問を遡って見ていたら下記の問題が気になりました。面白そうで、いくつか別解が見つかる可能性があり挑戦してみたところ、問題の指示に沿った解を含めて下記4つの解を得ました。
 また通常答としての最大値、最小値のほかそのときの座標を示すことが多いですが、本問ではその設問がないため追加しその理由を考えてみました。 結論は問題の誘導から考えて計算が煩雑で、時間不足に陥るためと推定しました。 その他の解答があればご教示下さい。

―私の数学散歩道(24)―無理方程式について
 @Author Youichi.Murata  @Version1.00;6.Jun.2015
 題記の方程式と問題B は、[初等数学]第76号掲載の「課題1」(問題A)をヒントに作題したもので、当初の問題の視点を変えて見たものと言える。

―私の数学散歩道(23)―cos20゚,cos40゚,cos80゚を解とする数値係数の3次方程式を探る
 @Author Youichi.Murata  @Version1.00;31.Jan.2015
 数学散歩道(20)で正接の角がA.P.をなす角αを求めましたが、今回は余弦の角がG.P.をなす問題を考えてみました。

―私の数学散歩道(22)―少し工夫が要る不等式の証明(2)

―私の数学散歩道(22)―少し工夫が要る不等式の証明追加分
 @Author Youichi.Murata  @Version1.00;29.Nov.2014
 前回同様「数学のいずみ」掲載の柳田五男氏編「初等的な不等式」から興味深く、かつ有名・無名の定理や補助公式を使わず、定石や正攻法を使いある程度高校生が解けると考えた不等式6問を選び解答をつけたものです。

―私の数学散歩道(21)―少し工夫が要る不等式の証明〜柳田五夫氏の「初等的な不等式」より〜
 @Author Youichi.Murata  @Version 1.00;9.Aug.2014
 「数学のいずみ」の新着情報を見ていたら、「初等的な不等式」に余り見慣れない興味ある不等式がたくさん載っていました。今回はその中から有名・無名の定理や補助公式を使わず、定石や正攻法で高校生が解けると考えた不等式を6 問選び解答をつけたものです。
 オリジナルには解答がついている問題もありましたが、小生なりの方法で解答しました。掲載問題は数百題にのぼりIMO関連等難かしい問題も多いですが、少しずつチャレンジしていきたいと思っています。

―私の数学散歩道(20)―tanα=tan2αtan3αtan4αこの式が成り立つ左辺の角α (0°<α<90°)は?
 @Author Youichi.Murata  @Version 1.00;25.Jan.2014
 数研出版の2013 入試問題集(数学T・U・A・B/理系)掲載の問題152.
tan10°=tan20°tan30°tan40°・・・@ を示せ。(13 千葉大・理)
を見て何ときれいな式だろう。一つの正接の角が別の三つの正接の角の積で、しかも角がこの順に等差数列をなしています。そこで角が初項α ,公差α の等差数列をなすこのほかに成り立つ角を探してみよう、というのが本稿の主旨です。

―私の数学散歩道(19)―4次関数に放物線(形状)が現れた…の検討について
 @Author Youichi.Murata  @Version 1.00;30.Nov.2013
 今回は問題提起2問を取り上げ、各々検討し課題を提示してみました。

―私の数学散歩道(18)―自作による雑問題5 問とその解答について(2)
 @Author Youichi.Murata  @Version 1.00;8.Jun.2013
 今回は自作による三角関数の証明問題2 題、図形の面積と積分計算の2 題、図形絡みの微分と整数についての1 題の計5 題について問題と解答を作ってみました。
(第1問)の垂線の長さは公式からすぐ出ますが、式の変形で迷いそうです。また別解も面白そうです。(第2 問)は複雑な式に惑わず、置換えや式の扱いに注意が必要です。(第3 問)は3次関数の性質と定数α β の大小関係がポイントです。(第4 問)は直接計算するのが面倒で簡単な積分を求め足掛かりにするのが大切、(第5 問)の(2)は整数解絡みで少し考えさせられます。でははじめましょう。

―私の数学散歩道(17)―自作による雑問題6問とその解答について
 @Author Youichi.Murata  @Version 1.00;8.Jun.2013
 今回は自作による方程式、図形と方程式、無限級数、積分と求積、簡単な積分方程式について問題と解答を作ってみました。(第1問)はガウス記号が入った一次方程式ですが、どう手をつけるかで迷いそうです。(第2 問)は図形の標準問題、(第3 問)は分母が複雑ですがどう部分分数に分解するかが鍵に なります。(第4 問)はどのように計算するかがポイント、(第5 問)は求積の問題ですが、計算が面倒です。最後の(第6 問)は概ね計算問題ですが、計算ミスをしそうです。落ち着いて行きましょう。

―私の数学散歩道(16)―自作の(連立)方程式とその解法について
 @Author Youichi.Murata  @Version 1.00;26.Jan.2013
 本稿では余り見ない幾つかの方程式とその応用問題を考え、それらの解法をまとめてみました。特別な形の三元三次連立方程式、平方根・立方根を含む連立方程式、log(sin x)とlog(sin y) ,あるいはlog(log u)を含む方程式、前提条件なしにtan(π/20)を計算で求める問題、一次式に指数関数が混じった連立方程式です。

―私の数学散歩道(15)―数式等の英語での読みについて(その2)
 @Author Youichi.Murata  @Version 1.00;1.Dec.2012
 毎日のように見慣れている数式等ですが、これらを英文で表現したらどうなるか考えてみました。今回は主に数研出版2011〜12 入試問題集数学T・U・A・B の領域から数と式、関数と方程式・不等式、式と証明、場合の数、 三角比・三角関数、指数関数・対数関数とそれらの応用の分野の公式や代表的な数式、方程 式等を選び纏めたものです。

―私の数学散歩道(14)―「方程式が解を持たない」ことを利用して解く問題の作問について
 @Author Youichi.Murata  @Version 1.00;1.Dec.2012
 今回は「方程式の解が存在しない」ことを示すことで解ける問題を考えまとめてみました。

―私の数学散歩道(13)―数式等の英語での読みについて(その1)
 @Author Youichi.Murata  @Version 1.00;4.Aug.2012
 毎日のように見慣れている数式等ですが、これらを英文で表現したらどうなるか考えてみました。幸い稿末表示の良いテキストが見つかり、英語が好きなこともあって不明な表現は真似るなどしてチャレンジしたわけです。

―私の数学散歩道(12)―連立方程式を解く楽しみ〜ラグランジュの未定乗数法:多変数関数の極値の算定について〜
 @Author Youichi.Murata  @Version 1.00;4.Aug.2012
 周知の通り多変数関数の極値は偏微分で求められます。その際偏微導関数や偏微係数、極値決定のための行列式の計算等が煩雑です。その点ラグランジュの未定乗数法ではとくに極値の存在がわかっている場合、計算が連立方程式の解法に帰せられ親しみやすく今般、方程式の解法を楽しみながら、例題3題を未定乗数法に絞って纏めてみました。

―私の数学散歩道(11)―ピアーズ・フォスター 簡約積分表の公式の証明(3)
 @Author Youichi.Murata  @Version 1.00;2.Jun.2012
 今回は「指数関数及びその他の関数を含む式」で、これをもって本シリーズの最後としたい。 見なれない公式も多いが、これにより難関大学を含め入試等に出てくる指数関数を含む積分の 計算に殆ど対応できると思う。解法のポイントは置換積分と部分積分が主であるが、結構計算 が面倒なものもある。

―私の数学散歩道(10)―ピアーズ・フォスター 簡約積分表の公式の証明(2)
 @Author Youichi.Murata  @Version 1.00;28.Jan.2012
 今回は「三角関数を含む式」とし266.から389.の公式より適宜選んで証明をつけた。 部分積分の公式にこれらを組み合わせることで、実際入試等に出てくる三角関数を含む積分の計算に 殆ど対応でき、また公式によっては積分の練習問題としても使えると思う。

―私の数学散歩道(9)―ピアーズ・フォスター 簡約積分表の公式の証明
 @Author Youichi.Murata  @Version 1.00;26.Nov.2011
 積分の計算は数学Vの一つの核をなすもので、題記の積分表を見て役立ちそうな分野の 公式を証明しておくと授業にも有用と考え、取り上げることにした。 今回は「対数関数を含む式」とし442 から460 のすべての公式の証明をつけた。 知らない公式も多いが、これにより難関大学を含め入試等に出てくる対数関数を含む積 分の計算に殆ど対応できると思う。

―私の数学散歩道(8)―特殊な高次の連立方程式
 ― 遊び心の観点から別解を探る―
 @Author Youichi.Murata  @Version 1.00;6.Aug.2011
 今回は自作の1.三元四次連立方程式を考え、それに途中から遊び心で4個の 異なる解を与え、また別の2.三元二次連立方程式では3個の別解を示しました。

―私の数学散歩道(7)―ある大学入試問題への9個のアプローチ
 ― ある大学入試問題への9個のアプローチ―
 @Author Youichi.Murata  @Version 1.00;13.Dec.2010
 楕円上の点における接線がつくる切片が作る線分の長さについての問題に対して、いくらか共通する解法を含むものの9個の別解を調べてみました。 これら以外の別解を見つけた方は、ご教示願えれば幸甚です。

―私の数学散歩道(6)―たかが因数分解、されど因数分解
 @Author Youichi.Murata  @Version 1.00;11.Feb.2011
 高校数学を学ぶに当たり、因数分解の必要によく迫られる。 式と計算の分野は言うに及ばず方程式や不等式の解法、等式や不等式の証明など枚挙に暇がない。数学Tで勉強する共通因数の括り出し、因数定理による因数の探索、一文字や最低次の文字について整理、公式の直接利用などだけでは対応できない例を考え、あるいは探して自分なりのやり方で解いてみた。

―私の数学散歩道(5)―別解探求による問題演習と学力アップ
 ― ある大学入試問題への9個のアプローチ―
 @Author Youichi.Murata  @Version 1.00;13.Dec.2010
 学力がつき余裕ができると「別解がないか」、と考えるのは自然のように思います。 すべての問題が別解を持つものでありませんが、常にこのような眼で見ていると多面的な 方向から一つの問題を攻めるフレキシブルな頭脳ができてきます。

私の数学散歩道 (4)
 〜積分を電卓と筆算で計算しよう!〜
 @Author Youichi.Murata  @Version 1.00;15.Sep.2006
 「数学散歩道シリーズ」第4弾。積分計算を考え方や途中の計算もいろいろあると思うが、 つれづれなるままに計算し、たいへん長い「私の数学散歩道」となった。最後までご覧いただければ幸いである。

私の数学散歩道 (3)
 〜新作問題と解答:等式、方程式、不等式篇〜
 @Author Youichi.Murata  @Version 1.00;15.Sep.2006
 自作の方程式、不等式に関する新作問題。「数学散歩道シリーズ」第3弾。

私の数学散歩道 (2)
 〜新作問題と解答:三角関数との融合を視点に〜
 @Author Youichi.Murata  @Version 1.00;15.Jul.2006
 三角関数の融合問題の新作を紹介。好評の「数学散歩道シリーズ」第2弾。

私の数学散歩道
 −関数 fn(x)=sinnx + cosnxの変域についての6個の証明と fn(x) の特徴、数学上の美
 @Author Youichi.Murata  @Version 1.00;19.Mar.2006
 関数 fn(x)=sinnx + cosnxの変域について,幾通りもの証明を通してfn(x) が持つ特徴を考察するとともに,その数学的美しさに触れる。



Copyright©1997- All Rights Reserved.
北海道算数数学教育会高等学校部会研究部