《 1996～ ／ 2000～ ／ 2003～ ／ 2006～ ／ 2008～ ／ 2010～ ／ 2012 ／ 2013 ／ 2014 ／ 2015 》
※ 各期間に掲載されたレポートや研究発表をまとめています。
相加平均と相乗平均の不等式について
@Author Itsuo.Yanagita @Version 1.00;4.Apr.2014
相加平均と相乗平均の不等式の証明方法は数多くあるが，ここでは大学入試に出題されたものを中心に紹介したい。
相加平均と相乗平均を含む不等式について
@Author Itsuo.Yanagita @Version 1.00;4.Apr.2014
相加平均と相乗平均を含む不等式のうち，興味深いものを一つとりあげてみた。
xn-(x-1)n の2次以上の因数の凸性について
@Author Itsuo.Yanagita @Version 1.00;27.Jan.2014
n を正の整数として xn-(x-1)n を整係数の範囲で因数分解し，2次以上の因数のグラフの形状を調べてみた。
チェビシェフ多項式 T_n(x), g_n(x) の因数分解について
@Author Itsuo.Yanagita @Version 1.00;27.Jan.2014
チェビシェフ多項式 T_n(x), g_n(x) の因数分解について調べてみた．
数学の問題
@Author Itsuo.Yanagita @Version 1.00;27.Jan.2014
高校数学から大学初年級程度の問題を扱っている．
カエル跳びゲームの数理
@Author Tomoyuki.Okazaki @Version1.00;29.Nov.2014
現在、私が顧問を務める、旭川南高校数楽研究部「あるご」では、平成２７年１月１０・１１日（土・日）に旭川市科学館で行われるイベント「科学探検ひろば」（参考資料①）に向けて、研究・工作を進めているところです。本レポートでは「カエル跳びゲーム」の最少手数を研究した際の実践研究を掲載します。
生徒の一言から始まった数学研究
@Author Naoki.Toyama @Version1.00;31.Jun.2015
生徒の質問やアイディアには私たち教員が思いつかなかった知識が詰まっている。生徒の一言を数学的に研究してみたら非常に面白いものが発見できた。そんな研究成果を①図形と方程式の線対称の移動②数列の漸化式をテーマに報告してみたい。
数学Ⅲの指導の工夫
@Author Wataru.Nishida @Version1.00;29.Nov.2014
数学Ⅲを担当するのは2回目になる。分量が多い科目ということもあり、既習事項との関連・大学（特に微積分、線形代数）との関連を意識しながら内容を整理して授業をするよう心がけている。3つの例を挙げたが、完成されておらず改良の余地があると思っている。
課題学習、模擬授業のネタ（AKB48主力メンバーになるには）
@Author Jun.Yamazaki @Version1.00;29.Nov.2014
課題学習や模擬授業で使えるネタについて紹介します。
楽しく学ぶ円の方程式
@Author Atsudhi.Tezuka @Version1.00;29.Nov.2014
本校は、数学を苦手としている生徒が多く、特に図をかくということに拒絶反応を示す生徒が多いため、楽しく学ぶ方法はないかと思っていたところ、以前、北数教の研究発表で似たような（私よりはかなりレベルが高かったです）授業をしている事例発表を拝見し、本校の実態にあった内容で考えてみました。
ICT機器の活用事情について
@Author Tetsuaki.Satou @Version1.00;29.Nov.2014
ICT機器の活用を試行錯誤の中で行っている。現段階でその効果の検証は難しいが、積極的な利用に至った背景およびこれまでに利用してきたツールを紹介する。
反省することの大切さ・今夜はスッキリ眠れる背理法
@Author Fukukazu.Yasuda @Version1.00;29.Nov.2014
(1)反省することの大切さ（【問題1】，【問題2】）
第89回の本会研究会で“知らないうちにあなたも加害者に・・・”タイトルのレポート紹介をした。マニュアル墨守の生徒が、きっちりと正しいかどうかの判定をしないで、形式的にマニュアル通りすると正しい答えが出て、形式通りしなければ間違ってしまう、というマニュアル墨守（半ロボット）人間製造の怖さを話した。
ところが、私自身が何の反省もないままマニュアル墨守をしていた事例に気づいた。この事例に気づいた後、数名の先生に尋ねてみて、私と同じような状況であることがわかったので、その事例を紹介しておきたいと思う（【問題2】)。
加えてマニュアル理解だけからの脱皮の大切さの例を紹介したい。【問題1】
(2) 今夜はスッキリ眠れる背理法（【問題3】）
ある問題を解こうとしていて、lim nθの挙動を調べたくなった。θがπの有理数倍の時はすぐにわかるが、無理数の場合がわかりそうでいてなかなかすっきりしない。何かヒントになることがないか本をいくつか調べてみて、発見した。その内容を紹介したい。
n次方程式のn個の解のk乗の和について
@Author Ikuio.Tokioka @Version1.00;29.Nov.2014
本校の図書館の蔵書に，問題解法代数学辞典（上／下）第2版があるが，「上巻第7章方程式の理論」の中に，最初に紹介した問題3051に相当する問題が見当たらない。なぜ，第2版のときに削除されたかは不明である。
しかし，n次方程式のn個の解のk乗の和を求める方法に微分を使う方法があることはおもしろいと思い，今回の原稿にしました。
なお，今回の原稿は，第44回数実研（2003年2月1日）で発表したときの資料の改訂版である。
韓国の数学教育の現状
@Author Hironobu.Uematsu @Version1.00;29.Nov.2014
日本の理系離れが叫ばれて久しいが、OECD 調査(PISA) やIEA 調査(TIMSS) の国際調査結果を比較すると日本はPISA の数学的リテラシー2000年はトップであったものの03年６位、06年10位、09年9位、12年7位に対して、韓国はそれぞれ２位、３位、４位、４位、５位と上位グループに属している。TIMSS は日本が95年３位、99年５位、03年５位、07 年５位、11年５位に対し、韓国はそれぞれ２位、２位、２位、２位、１位と上位を維持している。韓国は国際調査結果の上位を維持するため、教育課程の改正を重ね、常に見直しを図っている。今回、韓国の高等学校を訪れる機会を得たので、韓国高等学校の状況や数学教育の現状について報告する。
ベータ関数とガンマ関数を視覚化する
@Author Mutuo.Matumoto @Version1.00;29.Nov.2014
センター試験で良く利用される「ロクブンのイチ」と呼ばれる公式は、ベータ関数の仲間である。ベータ関数とガンマ関数と呼ばれる特殊関数を視覚化してみる。
個体群成長の数理モデルについて
@Author Yuuichiro.Hayashi @Version1.00;29.Nov.2014
事象に存在する数理現象のモデル化の例として、個体集団の生長モデル（あるいは抑制的に増加して）を表す方程式について考察する。この種の問題では、Fibonacchiのウサギの増殖数列（｢算盤の書LiberAbaci,1202」はなじみ深い。また、日本では江戸時代にベストセラーだったという和算の書、塵劫記（吉田光由1598～1672）のネズミ算がある。この素材は等比数列あるいは指数関数の教材として活用されているであろう。
この稿ではネズミ算に関連して差分方程式について触れる。また、自然界でのネズミは、天敵や環境条件で抑制され計算通りには増えない。このような条件付きのモデルに有効なロジステック方程式について触れ、最後にライフ・ゲームを扱う。
―私の数学散歩道(22)―少し工夫が要る不等式の証明(2)
―私の数学散歩道(22)―少し工夫が要る不等式の証明追加分
@Author Youichi.Murata @Version1.00;29.Nov.2014
前回同様「数学のいずみ」掲載の柳田五男氏編「初等的な不等式」から興味深く、かつ有名・無名の定理や補助公式を使わず、定石や正攻法を使いある程度高校生が解けると考えた不等式６問を選び解答をつけたものです。
超基本問題、でも問題集にはない、そんな問題を出題したらこんな結果になりました
@Author Youichi.Fukushima @Version1.00;29.Nov.2014
最近は問題データベースソフトが便利で､練習問題プリントの作成において有効活用している。しかし、その作業が日常化することで、問題を作成しなければならない場面で問題を選んでいる自分がいる。今回も自分への戒めとして、最近提示した、ねらいを焦点化した問題をいくつか思い出し、レポートにしてみた。
失敗した課題学習の実践例
@Author Kensuke.Ootani @Version1.00;29.Nov.2014
今年10月、本課程数学科に5年に1度の指導主事2次訪問があ(た)り、さまざまな理由により私が授業公開し、ご指導を賜ることになってしまいました。たぶん、数学の指導主事が勤務校に訪問されたすべての機会において授業公開してきた教員人生ではないかと思います。
せっかくの機会ですので、単元（2次関数）の途中ではありますが「課題学習」でも取り入れてみようと考え、指導主事訪問の日にあわせて授業を進めて行き、なんとか課題学習らしきものにたどり着いた実践がきょうのレポートです。
最近の教材事情 Ver.3
@Author Sousuke.Yoshida @Version1.00;29.Nov.2014
その時々によって使う素材にマイブーム（偏り）があったりします。今年はストローを素材に何点か作ってみました。日々の授業で活用しているものですが、「こうしたら…」とか「こういうのがあったら…」というものがあればご意見いただければと思います。
iPadでGeogebra
@Author Mituru.Sugawara @Version1.00;29.Nov.2014
米国マサチューセッツ州のお母さんが13歳の息子にiPhoneをクリスマスプレゼントとしてあげるときに、交わしたiPhone
（スマホ）を使う為の「18の約束」などを保護者や生徒に広める、9時以降は電源を切るなど独自の約束を作っている学校も
あると思われる。これだけ普及しているスマホを教育現場に種極的に利用する実践も今後進んでいくのも当然の成り行きであろう。
本レポートは「iPadを数学の授業に利用できないか」についての所見(感想？）である。
マス・フェスタ参加報告
@Author Takayuki.Syoda @Version1.00;29.Nov.2014
平成26年8月23日大阪で行われたSSH第6回全国数学生徒研究発表会マス・フェスタの参加報告です。
公式説明の簡潔化（「点と直線の距離」編）
@Author Tomoyuki.Okazaki @Version 1.00;9.Aug.2014
現在、高等数学の授業の展開法としては、「導入→公式・定理の説明→利用例の紹介→演習」が一般的であるが、おそらく最後の「演習」の時間を確保したい先生が多いのではなかろうか。
そのためには「公式・定理の説明」をいかにエレガントで分かりやすく行うかが重要になる。
今回のレポートでは、生徒に「説明が長い！」と思われていそうな公式を挙げ、私の説明と教科書の説明の量を比較してみた。今回挙げたもの以外にも挑戦してみたい公式・定理があるので、今後良い方法が見つかった際や、実践結果がまとまった際には発表の機会を持ちたいと考えている。
図形と方程式を図形的に見てみる
@Author Naoki.Toyama @Version 1.00;9.Aug.2014
数学Ⅱテーマの一つである図形と方程式は今まで幾何的アプローチしかできなかった図形の問題を座標平面を導入し、
方程式を用いることによって導き出すものである。ベクトルとは違った意味で図形と式をつなげる図形と方程式は興味
深い分野であるが、現在の教科書では諸性質を導き出すためにグラフの平行移動を用いるなどいまいち幾何的なアプロ
ーチが薄いように感じる。そのため、せっかく図形と方程式を勉強しても図形と方程式を結びつけず、単なる式計算と
して考えてしまう生徒が少なくない。そこで今回、教科書の図形と方程式の諸性質をできるだけ式計算を使わずに、図
形を使って感覚的に導き出してみた。
グラフの印象を押し売りする
@Author Kensuke.Ootani @Version 1.00;9.Aug.2014
三年前のレポートで、中村先生のボデイパラをヒントにして長崎の平和祈念像から指数関数のグラフをイメージできるという番外レポートを発表したことがあります。私自身、ボディパラが大好きでどの数Iの授業でも実践しておりますが、
①体でグラフのインパクトを与える
②既存の有名な建造物や絵でグラフのイメージを残す
のほかに何か方法はないかな～と考え、生徒に多大な迷惑をかけながら第3の方法を試してみましたので、報告したいと思います。
―私の数学散歩道(21)―少し工夫が要る不等式の証明～柳田五夫氏の「初等的な不等式」より～
@Author Youichi.Murata @Version 1.00;9.Aug.2014
「数学のいずみ」の新着情報を見ていたら、「初等的な不等式」に余り見慣れない興味ある不等式がたくさん載っていました。今回はその中から有名・無名の定理や補助公式を使わず、定石や正攻法で高校生が解けると考えた不等式を6 問選び解答をつけたものです。
オリジナルには解答がついている問題もありましたが、小生なりの方法で解答しました。掲載問題は数百題にのぼりＩＭＯ関連等難かしい問題も多いですが、少しずつチャレンジしていきたいと思っています。
例題解説→練習問題で私たちが教えてきたこととは何だったんだろうか？
@Author Youichi.Fukushima @Version 1.00;9.Aug.2014
「考える習慣がない｣、「やり方が見えない問題はやらない」という生徒の姿勢が気になっており、どうにかして考える力をつけられるように、意識して授業を工夫してきた。少人数クラスで数学Iと数学Aで増単されていた前任校では、そのための取り組みを入れながら授業を構成することができていたように感じているが、現在はなかなか満足できていない状況が続いている。その理由の一つに限られた時間で多くの内容を扱わなければならないことにある。教科書の内容をこなすことに精一杯になってしまい、例題をただ解説し、例題と同等の練習問題を解かせるという流れを、ねらいのないまま踏
んでしまっているのだ。この惰性のような授業展開が「解き方は教わるものであって自分で考えるものではない」という生徒の発想を生んでいないだろうか？今回は自分への戒めとして、例題解説→練習問題というスタンダードな授業展開を効果的にするために現在意識していることをまとめてみた。
「数学のいずみ」リニューアルに当たってのアンケート Word版
@Author Sousuke.Yoshida @Version 1.00;9.Aug.2014
2008年に４度目のリニューアルをしてから６年を迎え、Web環境の変化に伴い5度目のリニューアルをしようと考えております。今回はリニューアルに当たり、使い勝手や現在の活用法、今後期待する機能や活用法などについてご意見いただければと思います。
２項分布の教具
@Author Masaaki.Tsushima @Version 1.00;7.Jun.2014
生徒に視覚的に見せることができるものの一つとして、授業で実験として使える教具を制作しようと思いました。
くどくどと｢平方根の授業｣を展開する
@Author Kensuke.Ootani @Version 1.00;7.Jun.2014
ここ最近はずっと「数学I基礎」の指導における授業の実践についてレポートさせていただいて
おります。その中で、菅原先生から、私の苦戦続きの平方根の授業のレポートに触れてアドバイス
をいただいたり、授業ネタの話題で「スマホを利用して授業するとかね…」という雑談をさせてい
ただいたりしておりました（やはり数実研は良い時間です)。
今回は、生徒が飽きない平方根の授業について、指導のレベルアップを図るべく取り組んだ内容
について、少しだけお話しします。
ベクトルの外積を活用する
@Author Mutuo.Matumoto @Version 1.00;7.Jun.2014
今回はベクトルの外積をMathematicaで視覚化することにより、３次元空間での回転、面積、体積、平面の法線ベクトル分野に活用できることを紹介します。
整数教材としてのEuclid互除法と連分数について
@Author Yuuichiro.Hayashi @Version 1.00;7.Jun.2014
久しぶりに高校数学「数学Ａ」に導入されたEuclid の互除法は人類最古のアルゴリズムであり、B.C.300 年頃に記されたEuclidの原論第７巻命題１に記載されている。ギリシャ数学はバビロニア数学のように代数が発達していなかったから図形の辺の長さで表されている。この互除法は連分数の考え方と同じであり、また数の連分数展開から無理数への理解が一層深まるのである。
本稿では、Euclid の互除法と不定方程式、連分数と関連する幾つかのトピックスを紹介し、「整数の性質」の単元にかかわる整数論の話題を提供し、高校数学における発展的な整数教材について考察する。
課題学習における黄金比の取扱い
@Author Hitoshi.Nakamura @Version 1.00;7.Jun.2014
本レポートの目的は、「数学I」「数学A」の教科書に提示されている黄金比の課題学習の内容をさらに発展させ、生徒の学習意欲を喚起する題材を提示することにある。
また、基礎的・基本的な知識・技能の習得が十分でない生徒に対しても、黄金比の近似値によって、身の回りの事象と関連付けることが可能な題材を提示する。
２次不等式は数直線で教えています 第１段階 第２段階 第３段階 第４段階
@Author Daiki.Sagawa @Version 1.00;7.Jan.2014
どの教科書でも，２次不等式の解法は２次関数のグラフを使って説明しています．そのこと自
体，何ら問題はありませんが，グラフを描くことすらままならない生徒にとっては，グラフを用
いて問題を解こうとすることに苦痛を感じ，拒絶反応を起こす子もいます．２次不等式を解く際
に重要なことは，２次関数のグラフの形ではなく，y 座標の符号の変化だけです．そこで私は２
次不等式を，数直線を使って機械的に解くように指導しています．この方法は何も２次不等式に
限らず，高次不等式や分数不等式にも応用できます．このレポートでは数直線で簡単に不等式を
解く方法を紹介します．
統計検定に挑戦
@Author Daiki.Sagawa @Version 1.00;25.Jan.2014
平成24年10月に行われた北数教千歳大会の講演で，慶応大学大学院教授の渡辺美智子先生が，
これからの統計学が果たす役割や重要性を述べられ，統計学を広めるために統計検定をスタートさせ
たという話をされました．講演された時点ですでにその直後に行われる統計検定の申込は締め切られ
ていましたので，1年待って昨年11月に受検しました．今回のレポートはその報告です．
複素数平面をやってみて 掲示物
@Author Sousuke.Yoshida @Version 1.00;25.Jan.2014
今年度３年ぶりに数学Ⅲを担当することとなった。そこで個人的にも学習指導要領的にも久々ということで、そのあたりの感想などとともに、学習指導要領上の変更点や実際の教科書での違い、教授上の注意点などをまとめてみた。
２元１次不定方程式特殊解の簡便法による求め方 !
@Author Fuminori.Nakamura @Version 1.00;7.Jun.2014
ユークリッドの互除法は，最大公約数を求める高速アルゴリズムである．応用として簡便法を用い二元一次不定方程式の特殊解を求められることはよく知られている．その解法は，互除法により最大公約数を求める過程で生成される余りからシミュレートしていくものであるが，計算が煩雑であることも指摘される．そこで，シミュレートを効率的に求める方法(簡便法)を考えてみよう．
math template
@Author Fuminori.Nakamura @Version 1.00;7.Jun.2014
数学を各テーマごとに１枚のテンプレートにまとめあげていきます。
数学教育の多様性と共通性
@Author Setsuo.Abou @Version 1.00;25.Jan.2014
平成２１年３月に新学習指導要領が公示され、高等学校数学においては、平成２４年度入学生から先行実施されている。今次の改訂では、理数教育を重視するとともに、多様な方法により、表現やコミュニケーションができる子どもを育てることに力点が置かれている。
このレポートでは、教科書に示されている数学的な事象についての多様な指導について言及する。
【「数学教育の多様性について」を第88回数実研講演用に追加・補足されたものです】
科学探検ひろば加報告
@Author Tomoyuki.Okazaki @Version 1.00;25.Jan.2014
私は 今年度４月に数楽同好会「あるご」を設立し、 現在１２名の生徒が加入ています。以前、上川高校で同様に「ますて」を設立したと きは、会員数が最大３名規模な展示を行うことができなかったのす、今はむしろ団結力を高める積極的にイベント参加ています。まだ数学の奥深さを伝えるで展示はきていせんが、楽しさを不特定多数の人に 伝えられただけでも、十分な成果が得のと考ています。
今回は年度参加したイベントの内、最大「科学探検ひろば」について報告ます。
交換可能行列からみえるもの
@Author Mutuo.Matumoto @Version 1.00;25.Jan.2014
交換可能行列を取り扱った大学入試問題を、行列の性質をMathematicaで視覚化することにより解法を説明します。
最近の教材事情 Ver.2
@Author Sousuke.Yoshida @Version 1.00;25.Jan.2014
いろいろな素材で教材を作っていますが、今回はここしばらくの間に作成したものを数点紹介したいと思います。日々の授業で活用しているものですが、「こうしたら…」とか「こういうのがあったら…」というものがあればご意見いただければと思います。
捩じれた話
@Author Ryouhei.Nagao @Version 1.00;25.Jan.2014
去年の夏, 知人と数学の話をしていた際, ひょんなことからテトラパックの形状の話になった.最近は目にする機会も少なくなったが, テトラパックは牛乳容器として馴染みのある存在である.
筆者はテトラパックが正四面体であるとずっと思っていたのだが, どうもそうではないらしい. 興味が湧いたので, 計算や工作をして検証してみた. それらについて紹介していきたい.
―私の数学散歩道(20)―tanα=tan2αtan3αtan4αこの式が成り立つ左辺の角α (0°<α<90°）は？
@Author Youichi.Murata @Version 1.00;25.Jan.2014
数研出版の2013 入試問題集（数学Ⅰ・Ⅱ・A・B／理系）掲載の問題152.
tan10°＝tan20°tan30°tan40°・・・① を示せ。（13 千葉大・理）
を見て何ときれいな式だろう。一つの正接の角が別の三つの正接の角の積で、しかも角がこの順に等差数列をなしています。そこで角が初項α ，公差α の等差数列をなすこのほかに成り立つ角を探してみよう、というのが本稿の主旨です。
微分積分のよさを実感しよう！― 惑星の運動法則を導く ―
@Author Yuuichiro.Hayashi @Version 1.00;7.Jun.2014
Ison 彗星が先日、太陽付近の近日点を通過した天体ショウは大きな話題となった。また、lovejoy 彗星が接近中である。Cinderella を用いて遊星のKepler 運動を見ていると面積速度が太陽の引力で急に大きくなる。実に不思議な現象である。Newton（1642～1727）の歴史的な著作『Principia』（プリンキピア）3 巻の第1 巻「物体の運動について」では向心力による運動として、Kepler（1571～1630）の面積速度法則、距離の2 乗に反比例する向心力の場で物体の運動は円錐曲線になるなどが運動方程式と万有引力の法則から演繹的に導いている。これを可能にしたのがApollonius の円錐曲線、Decartes の座標幾何、Newton・Leipnitz の微分積分などの数学言語であった。本稿では、２でKepler の法則を、３でこれをNewton 力学から導く過程を確かめる。これは三角関数、ベクトル、円錐曲線、微分積分の応用の宝庫であり、特に微分積分のよさを実感できる教材になりうる。
数学研究同好会で扱った整数問題について
@Author Itsuo.Yanagita @Version 1.00;1.Jan.2014
本校（佐野日本大学中等教育学校）の数学研究同好会で、2013 年度前期に扱った
整数問題の一部を紹介したい．
初等的な不等式Ⅰ
@Author Itsuo.Yanagita @Version 1.00;1.Jan.2014
ここでは，初等的な不等式を証明するために必要となる基本的な不等式と重要なテクニックを扱っている。
初等的な不等式Ⅰ（問題）
@Author Itsuo.Yanagita @Version 1.00;1.Jan.2014
初等的な不等式Ⅰの問題
初等的な不等式Ⅱ
@Author Itsuo.Yanagita @Version 1.00;1.Jan.2014
初等的な不等式Ⅰの続編です。
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