整数の下二桁の値のちょっとした小手技
 
@Author Fuminori.Nakamura  @Version 1.00;3.Aug.2013
過去の学習指導要領の元での教科書にはオイラーやフェルマーの定理を載っているわけではない。しかし、その当時の大学受験の問題集や参考書では、入試で出題されることもあり、当然の如く解説されていたし、またそれはガウスのような大数学者の業績に触れることのできる嬉しい機会でもあった。数理重視の切り札の一つとして復活した整数の性質は、随分昔に扱われたものであり、現場で指導したことのない教師が大多数かもしれない。その指導法もまだまだ未開拓といえる。この古くて新しい素晴らしい分野に対し、本研究会においても多くの先生方の指導実践とそのあいのりを望みたいと思う。

多面体定理のちょっとした小手技
 
@Author Fuminori.Nakamura  @Version 1.00;10.Jun.2013
定理の証明については正多面体の面、辺、頂点の数を調べるだけで「推測」するものであり、正多面体が五種類しかないことの証明も割愛されている(研究としては載っているが)。「仏造って魂入れず」である。面、辺、点の数にどうしてこのような関係が成立するかを正多面体で調べ、そこから性質を予想・組立て、そして証明する道筋こそが、活用力の育成であり、数学のよさの認識であるはずなのだが、その証明がまったく触れられていないのである。そこで、今回の小手技は、これを盛り込むことにした。

3次式で割った余りの小手技
 
@Author Fuminori.Nakamura  @Version 1.00;6.Aug.2011
今回の小手技は、「翻訳のタイミング」をテーマにしています。この分野に限らず、条件文の定式化は、どの段階で、どの部分まで、どのように翻訳するかで大きく解法の方針が異なってきます。

三角関数の解法の小手技
 
@Author Fuminori.Nakamura  @Version 1.00;11.Jun.2011
向かい合う辺と角の組を最良のカップルと見て残りのパートナー探しを試みる、対辺・対角を意識しながら三角形の解法に臨むという方針設定の小手技。

必要十分条件の小手技
 
@Author Fuminori.Nakamura  @Version 1.00;28.Jun.2010
 必要十分条件は集合の包含関係に置き換えられる。あとがきのあとがきでは命題や逆、対偶についての考察が為されています。

集合の要素の個数の小手技
 
@Author Fuminori.Nakamura  @Version 1.00;28.Jun.2010
 集合の要素の個数をベン図ではなく、カルノー的分類法で考えていくと…。

必要十分条件の小手技
 
@Author Fuminori.Nakamura  @Version 1.00;28.Jun.2010
 必要十分条件は集合の包含関係に置き換えられる。あとがきのあとがきでは命題や逆、対偶についての考察が為されています。

事象の排反と独立の小手技
 
@Author Fuminori.Nakamura  @Version 1.00;28.Jun.2010
 排反と独立の違いは何でしょう。そんなの関係ねぇ関係を整理していきます。

背理法と対偶による証明の小手技
 
@Author Fuminori.Nakamura  @Version 1.00;28.Jun.2010
 背理法と対偶による証明をいつものメンツのやり取りの中から考えていきます。あとがきには、真理表による論理の説明や対偶の導入に関する面白い例、直接証明・対偶法・背理法の証明の比較なども記載されています。

斜交座標系のちょっとした小手技V
 
@Author Fuminori.Nakamura  @Version 1.00;29.Nov.2008
 バランスメソッドは空間でも成り立つのでしょうか。空間と平面の関係から見つめていきます。

円の接線と極線の小手技
 
@Author Fuminori.Nakamura  @Version 1.00;14.Aug.2008
 円の接線を求めるときによく見られる間違えを誤認誘導として接線へ導いていく流れとともに、「ではその間違った直線は何であるか」まで示されています。

斜交座標系のちょっとした小手技
斜交座標系のちょっとした小手技U
 
@Author Fuminori.Nakamura  @Version 1.00;14.Aug.2008
 三角形とベクトルには斜交座標がよく馴染むのがわかります。メネラウス型の三角形へのアプローチも興味深いものとなっています。

解の配置問題のちょっとした小手技
 
@Author Fuminori.Nakamura  @Version 1.00;11.Jun.2008
 解の配置問題(解の存在範囲)はなかなか難しい問題です。しかし「てんじく蝶」が解答へ導いてくれます。

出会いの確率の小手技
 
@Author Fuminori.Nakamura  @Version 1.00;2.Feb.2008
 最短経路の確率の問題を「同様に確からしい」と絡めて分析する。

ランダムウォークの確率の小手技
 @Author Fuminori.Nakamura  @Version 1.00;2.Feb.2008
 酔歩の確率をカタラン数とからめて分析する。

曲線外から引いたグラフの接線の小手技
 
@Author Fuminori.Nakamura  @Version 1.00;23.May.2007
 曲線外から引いた接線の求め方をスマートに求めよう。

f(x)/xのグラフの接線の小手技
 
@Author Fuminori.Nakamura  @Version 1.00;1.Aug.2006
 勾配関数とその反転関数の性質をもとに,グラフの概形を探ることができる。さらに00のイメージ化を考えよう。

じゃんけんの勝敗確率の小手技
 
@Author Fuminori.Nakamura  @Version 1.00;6.Aug.2004
 人数が増えれば増えるほどじゃんけんで一人の勝者を決めるのに時間がかかります。最後に一人の勝者が決定するまでの期待値(平均)を考えてみましょう。

辞書式配列のちょっとした小手技
 
@Author Fuminori.Nakamura  @Version 1.00;27.Nov.2004
 場合わけが面倒な辞書式配列に関する問題を簡単な方法で解きます。目からうろこが落ちるような,そんな解法を紹介。

ap計算のちょっとした小手技  
 
@Author Fuminori.Nakamura  @Version 1.00;5.Jun.2004
 対数に関するちょっとした公式,だけど使い勝手のよい味のある公式を用いた計算方法を取り上げる。

放物線の共通接線のちょっとした小手技  
 
@Author Fuminori.Nakamura  @Version 1.00;31.Jan.2004
 2つの放物線の共通接線の方程式をもとめる裏技を紹介。開き(2次の項の係数)の絶対値が等しい放物線のグラフだけでなく,開きが違う場合についての共通接線についても取り上げる。

関数の極限のちょっとした小手技  
 
@Author Fuminori.Nakamura  @Version 1.00;14.Jun.2003
 無限小を調べるアイテム,Maclaurin展開,Maclaurin級数での近似,ロピタルの定理,そしてランダウのオーによる漸近展開などのアイテムを使って関数の極限に関する問題を解いてみよう。

複素数の割り算のちょっとした小手技  
 
@Author Fuminori.Nakamura  @Version 1.00;1.Feb.2002
 複素数のわり算について,直交座標平面,斜交座標平面,複素数平面の3つの平面の比較から迫る。

3次関数の標準形の小手技  
 
@Author Fuminori.Nakamura  @Version 1.00;30.Nov.2002
 変曲点における接線の傾きは、2極点を結ぶ直線の傾きの3/2倍である。この事実から3次関数の標準形について考える。

平行性変形でのベクトルの小手技  
 
@Author Fuminori.Nakamura  @Version 1.00;30.Nov.2002
 初等幾何における代表的な定理「メネラウスの定理」。そこから派生する様々な定理。この定理の性質をベクトルで読み替えれば、ベクトルの一次独立や共線問題、共点問題が簡単に片付けられてしまうことが分かります。

指数と対数の関係のちょっとした小手技  
 
@Author Fuminori.Nakamura  @Version 1.00;3.Aug.2002
 指数とは何者なのでしょう? 対数の便利性から指数の基本的な性質をもっと見直す必要があるのではないだろうか。

三角関数の合成のちょっとした小手技  
 
@Author Fuminori.Nakamura  @Version 1.00;11.Jun.2002
 三角比を円関数としての定義し,三角関数をcosから導入する。cosから導入することで,合成の公式が自然に導かれる。

剰余の定理のちょっとした小手技  
 
@Author Fuminori.Nakamura  @Version 1.00;15.Jun.2002
 条件を変形することで余りを作り出すという直接的な解法を用いて剰余定理に関する問題を解いてみましょう。また「数文・和文翻訳」で問題の意味を数学言語で解釈し直しましょう。

正弦定理のちょっとした小手技  
 
@Author Fuminori.Nakamura  @Version 1.00;2.Feb.2002
 正弦定理を「弦の長さの比は円周角の正弦の比に等しい」ととらえてみましょう。こうした場合,三角形ABCにおいては「a:b:c=sinA:sinB:sinC」と表現する方が正弦の本質を表していると考えられる。

数学的帰納法のちょっとした小手技  
 
@Author Fuminori.Nakamura  @Version 1.00;2.Feb.2002
 数学的帰納法には、いろいろなパターンが考えられますが,いったいその本質はどこにあるのでしょう。具体例をもとに数学的帰納法の本質に迫ります。

コーシーの不等式のちょっとした小手技  
 
@Author Fuminori.Nakamura  @Version 1.00;1.Nov.2001
 最大・最小問題を始めとして多岐の分野で活躍する「コーシーの不等式」。相加・相乗平均では単純に変数を増やしていっても,次元として無限に対応していく。このコーシーの不等式にスポットを当てて見ましょう。

絶対不等式のちょっとした小手技  
 
@Author Fuminori.Nakamura  @Version 1.00;1.Nov.2001
 等式に恒等式と方程式の2種類があるのと同様に,不等式にも条件不等式と絶対不等式があります。絶対不等式の中で一番エライ不等式ってなんだろう。

不等式の拡張のちょっとした小手技  
 
@Author Fuminori.Nakamura  @Version 1.00;1.Nov.2001
 授業では扱いにくい不等式の証明。絶対不等式のコーシーの不等式,チェビシェフの不等式を変数の個数(次元)で拡張していきましょう。

楕円と直線の関係のちょっとした小手技  
 
@Author Fuminori.Nakamura  @Version 1.00;16.Jun.2001
 楕円に関する問題はその補助円を考え,円特有の性質を使えば簡単に求めらることができます。楕円に関する様々な問題を補助円を用いて考えてみましょう。

放物線で囲まれる面積のちょっとした小手技  
 
@Author Fuminori.Nakamura  @Version 1.00;16.Jun.2001
 図形を変換することによって,2つの図形で囲まれる部分の面積を簡単に計算することができます。

位置ベクトルの始点の小手技  
 
@Author Fuminori.Nakamura  @Version 1.00;16.Jun.2001
 位置ベクトルに関するメネラウス型の問題を,各頂点におもりを加えるという単純な操作で解いて見ましょう.計算式をはぶいて,バランスの美しさを楽しんでください.

切頭円柱の体積の小手技  
 
@Author Fuminori.Nakamura  @Version 1.00;2.Dec.2000
 切頭円柱はスライスの仕方によって,様々な図形に切り分けられ,そこから体積の指導のいろいろな場面がフィードバックできます。

放物線の切片形の小手技  
 
@Author Fuminori.Nakamura  @Version 1.00;2.Dec.2000
 2次関数の決定問題を解く問題の中では,2次関数の三態を使い分けます。この中でも特に,3点を通る問題についてx座標の意味に拘ってみましょう。

対数による桁数問題の小手技  
 
@Author Fuminori.Nakamura  @Version 1.00;2.Dec.2000
 桁数問題のうちでも「最高位の数は何か」,「小数第何位に初めて0以外のどんな数が現われるか」といった問題を考えてみよう。

集合による人数計算の小手技  
 
@Author Fuminori.Nakamura  @Version 1.00;2.Dec.2000
 集合における人数計算の問題をカードを使って考えてみましょう。

等差数列のちょっとした小手技  
 
@Author Fuminori.Nakamura  @Version 1.00;5.Aug.2000
 等差数列がnの1次式で表されるということに注目し,“公差”を中心とした等差数列の指導を考える。

四角形の重心のちょっとした誤手技  
 
@Author Fuminori.Nakamura  @Version 1.00;10.Mar.2000
 四角形の重心はどうやって求めるのか。バランスメソッドを用いて重心について考える。

階差数列のちょっとした小手技  
 
@Author Fuminori.Nakamura  @Version 1.00;4.Dec.1999
 一般項がどうなるのか与えておいて階差数列を導入。階差数列の指導法を別な観点から考える。

部分分数分解のちょっとした小手技  
 
@Author Fuminori.Nakamura  @Version 1.00;4.Dec.1999
 部分分数に分解するときに,分子に出てくる数はどうやって出すの? カードゲームのような感覚で,部分分数への分解を工夫してみよう。

組合せのちょっとした小手技  
 
@Author Fuminori.Nakamura  @Version 1.00;4.Dec.1999
 男3人,女2人の5人の中から2人選ぶとき,少なくとも1人女子が含まれる場合の数.複数選ぶ場合において重複なく数える方法について考える.

pの計算のちょっとした小手技  
 
@Author Fuminori.Nakamura  @Version 1.00;4.Dec.1999
 式を変形することで数列のべき和の問題を簡単に考えていく.整式の割り算で商と余りを求めるホーナー法で式変形もラクラク.

剰余類のちょっとした小手技 
 
@Author Fuminori.Nakamura  @Version 1.00;5.Jun.1999
m(2≦m≦k)の倍数であるかどうかを示すのに,剰余系を考えるのではなく,連続するk個の整数の積はk!で割りきれる性質を利用する。

点と直線の距離のちょっとした小手技 
 
@Author Fuminori.Nakamura  @Version 1.00;5.Jun.1999
 点と直線の距離の公式を,三角比のもつ性質が座標上でどう表現されるかという,その結びつきから指導する。

正弦・余弦定理のちょっとした小手技  
 
@Author Fuminori.Nakamura  @Version 1.00;16.Jan.1999
 三角形を解く問題において解法の仕方の問題点はないのか? 正弦定理+余弦定理=加法定理? 第1余弦定理をkey-wordとした,スムーズな流れの指導の組立てを考えます。

群数列のちょっとした小手技  
 
@Author Fuminori.Nakamura  @Version 1.00;1.Nov.1998
 原数列が等差数列の場合における仕切りの入れ方と,群数列との関係を考えます。

隣接二項漸化式のちょっとした小手技2  
 
@Author Fuminori.Nakamura  @Version 1.00;1.Nov.1998
 隣接二項漸化式を特性方程式を発展させて解法するときの,ちょっとした小手技を考えます。

数列{n・2n-1}の和のちょっとした小手技  
 
@Author Fuminori.Nakamura  @Version 1.00;1.Nov.1998
 等差・等比数列の積で作られるmarriage数列。その和を求めるための指導法を考える。

絶対値不等式のちょっとした小手技
 
@Author Fuminori.Nakamura  @Version 1.00;1.Aug.1998
 絶対値の入った不等式|x−1|≧2x+3を x−1≦−(2x+3),2x+3≦x−1 と直接解いていいの? そんな「まなぶ法」はどこまで,認められるでしょうか。

隣接二項漸化式のちょっとした小手技
 
@Author Fuminori.Nakamura  @Version 1.00;1.Aug.1998
 「バランスをとる」ことを大事にして,n次式を含む二項漸化式を解いてみよう。

実数条件のちょっとした小手技
 
@Author Fuminori.Nakamura  @Version 1.00;1.Aug.1998
 判別式を使った問題を例に,実数条件についてのちょっとした指導法を考える。

二項係数のちょっとした小手技
 
@Author Fuminori.Nakamura  @Version 1.00;1.Aug.1998
 現教育課程の中におけるオプション分野にコアを調達するのはなかなか大変。そんなとき,さり気なくものぐさにエッセンスだけを提供することも必要。

二次関数の最大最小問題のちょっとした小手技
 
@Author Fuminori.Nakamura  @Version 1.00;1.Aug.1998
 2次関数のグラフの対称性を利用した最大最小問題の解法。発想を転換して,ちょっと視線を変えてとらえてみよう。

二次不等式の解のちょっとした小手技
 
@Author Fuminori.Nakamura  @Version 1.00;1.Aug.1998
 水平線を飛ぶかもめのイメージをもとに,2次不等式の解に挑戦。

2次方程式の解のちょっとした小手技
 
@Author Fuminori.Nakamura  @Version 1.10;20.Jun.1998
 複素係数をもつ2次方程式に解の公式は使えるの?解と係数の関係は?好評の小手技シリーズ続編。

複素数平面のちょっとした小手業
 
@Author Fuminori.Nakamura  @Version 1.00;10.Mar.1998
 複素数計算における効率的な式の整理法,複素平面上における大局的図形概念のイメージ法など,日常の授業における指導法を少し。

数列のちょつとした小手業
 
@Author Fuminori.Nakamura  @Version 1.00;28.Oct.1996
 生徒と、そして黒板との格闘との毎日である授業は、時として、苦し紛れの小技を生み出すこともあります。数列に関するそんな話題を少し。



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北海道算数数学教育会高等学校部会研究部