君は再びオレオレ詐欺に引っかかっていないか（解答編）
@Author Fuminori.Nakamura @Version 1.00;25.Nov.2017
小論文は、「問われている事柄に対し、一つの言いたい事(主張)があって、読み手である第三者を客観的、論理
的に説得するために書かれた文章」である。フォーマットに留意しながらまとめていくと、そこそこの小論文は書けるものである。
ここで「小論文」を「数学の記述問題」に読み替えてみる。すると上述のポイントは数学の解答にも当てはまってしまう。数学の問題資料とは、グラフ、図、そして小問である。数学の記述問題の解答は、これを用いて「設
問に対し、一つの解法があり、出題者である第三者が客観的、論理的に理解できるように書かれた」文章である。
小論文は文の性質を文字で語るのに対し、数学は数の性質を数字や式で語るだけであり、日本語、英語と同じよ
うに数学語という言語による解釈であることに違いはない。
漸化式の平衡値の小手技～漸化式の項をShareしよう
@Author Fuminori.Nakamura @Version 1.00;28.Nov.2015
非同次式(非斉次式)の一般解は、その特殊解と同次式の一般解の和として得られる。
本文の内容は一言でこのように表現される。ここで非同次式の特殊解は特性方程式の解として得られる。また、同次式の多くは等比数列の一般項である。ただ、原理としてはそうであるが、本文はそんな大げさな性質を大上段に構えて論じてい
るわけではない。いたって単純であり、「項の値をシェアする」操作で漸化式の一般項を求めてみようという内容である。
特性方程式は、漸化式の一般解の解法のキーワードとして自然に用いられようになった。しかし特性方程式や特殊解(特性根)という用語の定義がないまま、使えば求められるという極めてマニュアル的な説明で用いられる。何か「特性」は「特別」なものとして捉えられ、そういう特別なテクニックをかざせば解決できるという発想はどうなのだろう。
数学の言葉…その似て非なるもの
@Author Fuminori.Nakamura @Version 1.00;29.Nov.2014
次の２つの文章を比較してみよう。
本論は「数学の言葉…その似て非なるもの」をタイトルにしてその違いを理解することを目的とする
本文は「算数の用語…その似て否なるもの」をテーマにしてその異なりを認識することを目標とする
この２つの文章の意味の違いはなんだろうか。
数学は数と式で論理が示される言語(数学言語)であるが、語られた数学を読み理解するのは会話言語(日本語)を用いる。数学用語はその両者をリンクする中間言語であり正確に翻訳しなければ伝わらず論理が崩れてしまうこともある。
そこで本レポートは思いつくままに似て非なる用語を読み解きその違いを雑筆している(論文ではなく覚え書き程度のものである)。「数学の用語」は会話用語との多義や転義を考慮しタイトルでは「数学の言葉」とした。「非なるもの」は言葉の比較の意味であり、違いではなく異なりを考察する(文中では「異なり」を「違い」で表現しているものが多いが言葉としての使い易さからである)。ただ異なりは多様であり個々により解釈も変わる。だから「異なりを認識する」のではなく「異なりを理解する」ことに留めている。数学の言葉を整理し理解することで活動のコミュニケーションが生まれて、より深いまなびが得られればと思うのだ。
だから本レポートのテーマは次のようになる。
本文は「数学の言葉…その似て非なるもの」をタイトルにしてその異なりを理解することを目標とする。
角の二等分線で開くいろいろな平均
@Author Fuminori.Nakamura @Version 1.00;6.Jun.2015
相加平均、相乗平均、調和平均、二乗平均は直線上に長さa,bである点A,Bを用意すればすべて作図が可能である。例えば、点Qは線分ABの垂直二等分線とCAを半径とする円との交点である。また点PはOC を直径とする円とABを直径とする
円との交点である。
ここでは、同様に数直線上にいろいろな平均が配置できないか考察してみよう
補角から眺めた三角比の小手技
@Author Fuminori.Nakamura @Version 1.00;31.Jan.2015
角の二等分線の問題から始まり、四角形から三角形へのトランスフォームにまで話題が発展してしまいました。
遊び心から始めたトランスフォーメーション(変換ではなく変形)解法の思いがけない副産物です。
２元１次不定方程式特殊解の簡便法による求め方 !
@Author Fuminori.Nakamura @Version 1.00;7.Jun.2014
ユークリッドの互除法は、最大公約数を求める高速アルゴリズムである。応用として簡便法を用い二元一次不定方程式の特殊解を求められることはよく知られている。その解法は、互除法により最大公約数を求める過程で生成される余りからシミュレートしていくものであるが、計算が煩雑であることも指摘される。そこで、シミュレートを効率的に求める方法(簡便法)を考えてみよう。
math template
@Author Fuminori.Nakamura @Version 1.00;7.Jun.2014
数学を各テーマごとに１枚のテンプレートにまとめあげていきます。
折り紙で開く万華の彩り…折ってつくる折り紙カライドサイクル!!
@Author Fuminori.Nakamura @Version 1.00;30.Nov.2013
カライドサクル (kaleidocycles)は「 koalos(美しい)＋eidos(形)＋k?klos(輪)」の造語である。Walker氏が考案した Iso Axisの平面網目状ラインを木柵ように伸ばし たり、縮めたりして右図のように 改良しても同様に円環ができ、その中心シンメトリーを保ちながら美しい車輪のように回転する。 この展開図にSchattschneider氏はエッシャーのだまし絵一部を描き、 その封じ込められた無限は回転することで息を吹き返すのある。 エッシャーは版画の模様に閉じた輪と終わりのない動きを制作の中心的なテーマとして与えたが、カライドサクルはまさにそれを実現するものである。 Walker氏とSchattschneider氏の出会い、そしてそこから生まれたカライドサイクルはどちらも必然の結果とみるこができはないだろうか。
万華鏡はカレイドスコープ(kaleidoscope、江戸時代は可列以度斯布の当て字であり百色メガネとも呼ばれた)のことであり、カライドサクルはカレイドスコープを立体的に3Dで再現することができ再現することができる。その回転動きと数理について調べみよう。
不思議数との出会いの覚え書き3
@Author Fuminori.Nakamura @Version 1.00;30.Nov.2013
「不思議数との出会いの覚書」～50篇の素敵な出会いのエピソード～のあとがきで50篇といういい区切りと数との
出会いがめっきり減ったことを理由に書くのを辞めていたのが、いつのまにか再開し気がついたら32篇(前回と合わせ
て82篇)になっていました。
辞書式配列の単語とその番号のアルゴリズム
@Author Fuminori.Nakamura @Version 1.00;30.Nov.2013
辞書式配列の代表的(頻出)問題であり、順列の場合の数の原理を理解する好材である。その求め方のオートメーショ
ン化は、「辞書式配列のちょっとした小手技」で示したが、それを樹形図の枝葉の広がりをイメージしながらシンプルな
アルゴリズムに改良した。
Math Template
@Author Fuminori.Nakamura @Version 1.00;3.Aug.2013
数学のイメージを大切にしたい
だから
動きのあるグラフにしてみよう
数学の言葉を図で表現してみよう
効果的に図を配置をしてみよう
1 枚の地図や絵として鑑賞したい
だから
そこにみえる風景をタイトルにしてみよう
目で追えるように用紙は横長にしてみよう
簡潔に用紙1 枚にまとめてみよう
メイクる数学 ボディトラで三角不等式を解こう
@Author Fuminori.Nakamura @Version 1.00;3.Aug.2013
三角比をメイクることを本文では、ボディトラと命名していますが、まだまだいろいろな単元で体を教具とすることは可能であると考えています。例えば、複数の人間が恥じらいの気持ちを捨ててお互い体を使えばもっと複雑なアニメーションも演出できることでしょう。体(Body)を使って数学Mathematics)をするということで、今後はボディマスと命名しようと思います。新たなボディマスを考案し、ちょっとの恥じらいと持って、あいのりしていきませんか？
整数の下二桁の値のちょっとした小手技
@Author Fuminori.Nakamura @Version 1.00;3.Aug.2013
過去の学習指導要領の元での教科書にはオイラーやフェルマーの定理を載っているわけではない。しかし、その当時の大学受験の問題集や参考書では、入試で出題されることもあり、当然の如く解説されていたし、またそれはガウスのような大数学者の業績に触れることのできる嬉しい機会でもあった。数理重視の切り札の一つとして復活した整数の性質は、随分昔に扱われたものであり、現場で指導したことのない教師が大多数かもしれない。その指導法もまだまだ未開拓といえる。この古くて新しい素晴らしい分野に対し、本研究会においても多くの先生方の指導実践とそのあいのりを望みたいと思う。
多面体定理のちょっとした小手技
@Author Fuminori.Nakamura @Version 1.00;10.Jun.2013
定理の証明については正多面体の面、辺、頂点の数を調べるだけで「推測」するものであり、正多面体が五種類しかないことの証明も割愛されている(研究としては載っているが)。「仏造って魂入れず」である。面、辺、点の数にどうしてこのような関係が成立するかを正多面体で調べ、そこから性質を予想・組立て、そして証明する道筋こそが、活用力の育成であり、数学のよさの認識であるはずなのだが、その証明がまったく触れられていないのである。そこで、今回の小手技は、これを盛り込むことにした。
不思議数との出会いの覚え書き2
不思議数との出会いの覚え書き50篇
不思議数との出会いの覚え書き3
@Author Fuminori.Nakamura @Version 1.00;2.Jun.2012
本稿は、「不思議数との出会いの覚書」(18 篇)とその続編「不思議数との出会いの覚書Ⅱ」(32 篇)の集冊版です。「不思議数との出会いの覚書」は、数学を生業とする仕事柄、いろいろな機会や場所で触れることのできた数たちを書き留めてあったものをまとめたもので、「どうして?」「へーっ!」といった疑問符や感嘆符といった素朴な感情を大切にしながら数たちを紹介しています。だから数学の苦手な人や中学生にも読める内容になっています。これに対して「覚書Ⅱ」はその方向性が少し違ったものになってしまいました。数たちとの出会いが加齢とともにめっきりと減ってしまい、渇望からか次第に数の話題を求め探すようになりました。ExcelVBA やら多倍長計算ソフトを用いて重箱の隅を楊枝でほじくるように、数の性質を強引に引き出そうとしたのです。
その結果、内容は話題にした数とは直接関係がないものや極めてマニアックなものとなってしまい、その根拠の説明や論理の証明のために行を費やしてしまいました。だから「覚書Ⅱ」は数学的な色がより強くなり、新教育課程の「課題学習的」な傾向になっているかと思います。
台形に潜むいろいろな平均
@Author Fuminori.Nakamura @Version 1.00;6.Aug.2011
調和平均・相乗平均・相加平均・加重平均が台形をもとに導かれていきます。
３次式で割った余りの小手技
@Author Fuminori.Nakamura @Version 1.00;6.Aug.2011
今回の小手技は、「翻訳のタイミング」をテーマにしています。この分野に限らず、条件文の定式化は、どの段階で、どの部分まで、どのように翻訳するかで大きく解法の方針が異なってきます。
三角関数の解法の小手技
@Author Fuminori.Nakamura @Version 1.00;11.Jun.2011
向かい合う辺と角の組を最良のカップルと見て残りのパートナー探しを試みる、対辺・対角を意識しながら三角形の解法に臨むという方針設定の小手技。
ロジック イン ザ キャロル ワールド
キャロル図による論理の国への招待
@Author Fuminori.Nakamura @Version 1.00;11.Feb.2011
集合の包含・補集合の関係を視覚的に示すシェーマ図としては、イギリスの数学者ジョン－ベンが考案したベン図やモーリス・カルノー(Maurice Karnaugh)が考案したカルノー図がある。３つの集合の位置関係を明確に表現できるシェーマ図はないのだろうかと思っていたところ、ジョン･フィッシャーが考案したキャロル図はカルノー図とベン図の「いいとこどり」をしたことになるが、そこから生み出されたゲームの世界観は論理的、代数的である。
幾つかの集合に関する演習問題を通して、キャロルワールドに触れてみよう。
場合の数から得られるべき和
@Author Fuminori.Nakamura @Version 1.00;11.Feb.2011
場合の数および数列は数の規則性といった性質を扱うものである。場合の数は、順列、組合せを用いて試行の総数から演繹的に規則性を見出すことに対して、数列は個々の規則性から帰納的に一般化を見出すことであり、その違いはあるが、どちらも自然数計算を基盤として成立するものである。一般には独立して指導されるこの2 つの単元について本文ではコラボを図っている。
メイクる数学 四面体に球を膨らませてみよう
@Author Fuminori.Nakamura @Version 1.00;11.Aug.2010
今回のテーマは正四面体にいろいろな条件で接する球面との位置関係をメイクることである。「正四面体の面と辺に接する球をメイクる」「正四面体の頂点に接する球をイメクる」「立方体の中に正四面体をメイクる」「立方体の中に2 つの正四面体をメイクる」を掲載。
立体図形による空間の彩り 生徒配付用
@Author Fuminori.Nakamura @Version 1.00;11.Aug.2010
正三角形は、平面上では円とともに図形の代表に位置し、図形の中に潜む種々の性質は大きな関心をもち扱われる。その正三角形を四面として構成される正四面体もまた煌びやかであり、空間内では立体図形の主格であり、正三角形の性質を継承しつつ、独自に、球面や他の立体図形との関わりを演出している。それらの佇まいについて調べてみよう。
Monotone Vision
@Author Fuminori.Nakamura @Version 1.00;11.Aug.2010
※数学と教育学のスタンスの違いについてインターネット上で仮想会議が開設されたことがあります。
その方向性のひとつの提示として、「ポアロの挑戦」なる掌小説を執筆しました(数学のいずみに掲載され
ています)。そのあとがきに書いたのが「ポアロの挑戦に至るひとつの考察」という本文ですが、こちらの
方は未掲載のままでした。
集合の要素の個数の小手技
@Author Fuminori.Nakamura @Version 1.00;28.Jun.2010
集合の要素の個数をベン図ではなく、カルノー的分類法で考えていくと…。
必要十分条件の小手技
@Author Fuminori.Nakamura @Version 1.00;28.Jun.2010
必要十分条件は集合の包含関係に置き換えられる。あとがきのあとがきでは命題や逆、対偶についての考察が為されています。
事象の排反と独立の小手技
@Author Fuminori.Nakamura @Version 1.00;28.Jun.2010
排反と独立の違いは何でしょう。そんなの関係ねぇ関係を整理していきます。
背理法と対偶による証明の小手技
@Author Fuminori.Nakamura @Version 1.00;28.Jun.2010
背理法と対偶による証明をいつものメンツのやり取りの中から考えていきます。あとがきには、真理表による論理の説明や対偶の導入に関する面白い例、直接証明・対偶法・背理法の証明の比較なども記載されています。
メイクる数学 ボディパラで不等式を解こう
@Author Fuminori.Nakamura @Version 1.00;15.Aug.2009
「３分の興具は３分で作成しよう！」、これもまたメイクる数学の目標でした。その究極に位置する興具が本時
のボディパラなのです。ボディパラでの授業は随分昔からやっているのですが、卒業生が学校に遊びにくるときもボデ
ィパラは強い印象として残っていることを懐かしく語ってくれます。なんたって体を張っている授業なのですから。
そこで、柳の下の２匹目のドジョウを、ということで第二弾を作ってみました。数学は「楽(ラク)する」ことを学ぶと同様に「楽しい」ことを学ぶという気持ちも大切にしたいのです。
鳥瞰的思考による立体図形問題の解法－入試問題から見る発想転換法
@Author Fuminori.Nakamura @Version 1.00;29.Nov.2008
鳥は、飛ぶことができるから、上空から見下ろす見方(鳥瞰)ができる。昆虫は、飛べたり、あるいは土中に潜れたりするからさらに視野は広くなる。それに比べて人間だけが、地面という平面世界に縛りつけられている。
斜交座標系のちょっとした小手技Ⅲ
@Author Fuminori.Nakamura @Version 1.00;29.Nov.2008
バランスメソッドは空間でも成り立つのでしょうか。空間と平面の関係から見つめていきます。
植木算と数列
@Author Fuminori.Nakamura @Version 1.00;29.Nov.2008
和算にはいろいろなものがありますが、植木算に着目することで数列中に現れるn-1をひもときます。
円の接線と極線の小手技
@Author Fuminori.Nakamura @Version 1.00;14.Aug.2008
円の接線を求めるときによく見られる間違えを誤認誘導として接線へ導いていく流れとともに、「ではその間違った直線は何であるか」まで示されています。
斜交座標系のちょっとした小手技
斜交座標系のちょっとした小手技Ⅱ
@Author Fuminori.Nakamura @Version 1.00;14.Aug.2008
三角形とベクトルには斜交座標がよく馴染むのがわかります。メネラウス型の三角形へのアプローチも興味深いものとなっています。
クレペリン的グラフり検査
@Author Fuminori.Nakamura @Version 1.00;14.Aug.2008
２次関数のグラフをかくことができるようになることは大事なことです。この検査用紙を使えば楽しく正確に書けるようになるかも。
不思議数との出会いの覚書
@Author Fuminori.Nakamura @Version 1.00;11.Jun.2008
さまざまな数との出会いの中から、不思議な魅力を持った数達を紹介します。
解の配置問題のちょっとした小手技
@Author Fuminori.Nakamura @Version 1.00;11.Jun.2008
解の配置問題（解の存在範囲）はなかなか難しい問題です。しかし「てんじく蝶」が解答へ導いてくれます。
積分を使わず視る積分の性質
@Author Fuminori.Nakamura @Version 1.00;18.May.2008
積分での面積公式の1/6は何を意味しているのでしょう。グラフから視覚的に着目します。
出会いの確率の小手技
@Author Fuminori.Nakamura @Version 1.00;2.Feb.2008
最短経路の確率の問題を「同様に確からしい」と絡めて分析する。
ランダムウォークの確率の小手技
@Author Fuminori.Nakamura @Version 1.00;2.Feb.2008
酔歩の確率をカタラン数とからめて分析する。
メネラウスで三角形を巡る
－方べきの定理による胡蝶定理の証明－
@Author Fuminori.Nakamura @Version 1.00;5.Aug.2006
「直線が三角形を切る」 ことにより分割された辺の比のバランスを謳っている「メネラウスの定理」。時代を超えて横たわるメネラウスの定理を巡ってみる。
胡蝶の羽ばたきを追う
－方べきの定理による胡蝶定理の証明－
@Author Fuminori.Nakamura @Version 1.10;9.Aug.2007
平面幾何でも胡蝶の名を冠する珍しい定理。それを方べきの定理を用いて証明する。
曲線外から引いたグラフの接線の小手技
@Author Fuminori.Nakamura @Version 1.00;23.May.2007
曲線外から引いた接線の求め方をスマートに求めよう。
f(x)/xのグラフの接線の小手技
@Author Fuminori.Nakamura @Version 1.00;1.Aug.2006
勾配関数とその反転関数の性質をもとに、グラフの概形を探ることができる。さらに00のイメージ化を考えよう。
おもしろハノイ～パズルで数楽しよう 
@Author Fuminori.Nakamura @Version 1.00;2.Aug.2006
ハノイの塔という円盤移しのパズルには数楽的な面白い仕組みが潜んでいます。仕組みを見破りパズルの達人になってみませんか？
なぜ、０で割ってはいけないか
@Author Fuminori.Nakamura @Version 1.00;4.Jun.2005
「なぜ、０で割ってはいけないか」をやさしく解説。「数学基礎」用教材。
アルキメデスと球の表面積･体積
@Author Fuminori.Nakamura @Version 1.00;22.Dec.2005
球の体積はどうやって求めればよいか、をやさしく解説。「数学基礎」用教材。
角の二等分線の性質を狩る
@Author Fuminori.Nakamura @Version 1.00;4.Jun.2005
様々な面白い性質を持つ角の二等分線に関する性質。そんな角の二等分線の性質に見え隠れする性質を少し狩りだしてみよう。
じゃんけんの勝敗確率の小手技 
@Author Fuminori.Nakamura @Version 1.00;6.Aug.2004
人数が増えれば増えるほどじゃんけんで一人の勝者を決めるのに時間がかかります。最後に一人の勝者が決定するまでの期待値(平均)を考えてみましょう。
トレミーを散りばめる
@Author Fuminori.Nakamura @Version 1.00;29.Jan.2005
幾何の発展にトレミーの定理はどのように関わってきたのであろうか。トレミーの定理が引き継いだもの、そして引き継がれたものについて考察。
辞書式配列のちょっとした小手技
@Author Fuminori.Nakamura @Version 1.00;27.Nov.2004
場合わけが面倒な辞書式配列に関する問題を簡単な方法で解きます。目からうろこが落ちるような、そんな解法を紹介。
正接定理とは何か？
@Author Fuminori.Nakamura @Version 1.00;27.Nov.2004
正接定理（Napierの法則）は三角形上においてどんな図形的な意味をもっているのだろうか。
ハノイの塔で遊ぼう
@Author Fuminori.Nakamura @Version 2.00;29.Nov.2004
ルールを変えることで、更に題材として面白みをます「ハノイの塔」。様々なバリエーションをあなたも手を動かすことで楽しんでみませんか。更に２進法からハノイの塔の完全復元の試みを追加。
三角形の面積をひもとく
@Author Fuminori.Nakamura @Version 2.00;6.Aug.2004
三角形の面積の出し方を様々な角度から考察する。
点字を数学的に読み取る
@Author Fuminori.Nakamura @Version 2.00;10.Oct.2004
３行×２列の６つの点の組合せにより構成される点字。その中に潜む原理と“ロマン”を数学的に解析する大著。
読者からのご指摘・ご助言をいただき、更にVersionUp。
ルートを開こう
@Author Fuminori.Nakamura @Version 1.00;27.Nov.2004
今では学校現場ではあまり教えなくなった開平算。平方根を筆算で求める方法をやさしく解説する。
彼らはなぜ｜x｜＜1 をx＜±1とするのか？
@Author Fuminori.Nakamura @Version 1.00;5.Jun.2004
絶対値の指導は、現課程において大きな関門となって立ちはだかってきています。どういったところで、何故そうした間違いをおかすのか。現場からの分析を紹介。
ap計算のちょっとした小手技
@Author Fuminori.Nakamura @Version 1.00;5.Jun.2004
対数に関するちょっとした公式、だけど使い勝手のよい味のある公式を用いた計算方法を取り上げる。
アポロニウスの円の中心と半径
@Author Fuminori.Nakamura @Version 1.00;5.Jun.2004
アポロニウスの円の中心のみならず、半径についても線分の両端の座標と、円の中心から求められることを示す。
放物線の共通接線のちょっとした小手技
@Author Fuminori.Nakamura @Version 1.00;31.Jan.2004
２つの放物線の共通接線の方程式をもとめる裏技を紹介。開き(2次の項の係数)の絶対値が等しい放物線のグラフだけでなく、開きが違う場合についての共通接線についても取り上げる。
関数の極限のちょっとした小手技
@Author Fuminori.Nakamura @Version 1.00;14.Jun.2003
無限小を調べるアイテム、Maclaurin展開、Maclaurin級数での近似、ロピタルの定理、そしてランダウのオーによる漸近展開などのアイテムを使って関数の極限に関する問題を解いてみよう。
ハノイの塔で遊ぼう
@Author Fuminori.Nakamura @Version 1.00;14.Jun.2003
ルールを変えることで、更に題材として面白みをます「ハノイの塔」。様々なバリエーションをあなたも手を動かすことで楽しんでみませんか。
複素数の割り算のちょっとした小手技
@Author Fuminori.Nakamura @Version 1.00;1.Feb.2002
複素数のわり算について、直交座標平面、斜交座標平面、複素数平面の３つの平面の比較から迫る。
直円すいの体積を求めてみよう
@Author Fuminori.Nakamura @Version 1.00;1.Mar.2003
新課程で導入された数学基礎。数学基礎の内容はどうあるべきか。教科書の著者でもある筆者が数学基礎の実験的展開例として紹介する。
３次関数の標準形の小手技
@Author Fuminori.Nakamura @Version 1.00;30.Nov.2002
変曲点における接線の傾きは、２極点を結ぶ直線の傾きの3/2倍である。この事実から３次関数の標準形について考える。
平行性変形でのベクトルの小手技
@Author Fuminori.Nakamura @Version 1.00;30.Nov.2002
初等幾何における代表的な定理「メネラウスの定理」。そこから派生する様々な定理。この定理の性質をベクトルで読み替えれば、ベクトルの一次独立や共線問題、共点問題が簡単に片付けられてしまうことが分かります。
コンパスでグラフを描こう
@Author Fuminori.Nakamura @Version 1.00;10.Dec.2002
軸に対して線対称である性質を利用して、コンパスを用いて放物線のグラフを描いてみましょう。更に変曲点の性質をもとに３次関数のグラフにも挑戦してみよう。
正多面体の思考の塗り分け
～ちょっと変えたn色問題～
@Author Fuminori.Nakamura @Version 1.00;30.Nov.2002
正多面体の塗り分け問題を更に別な角度から考える。また１３種類の準正多面体、いわゆる"アルキメデスの立体"についてもその塗り分けを考えてみる。多面体描画ソフトを駆使してのイメージ図作成にも注目。
無限等比級数の収束を見る
@Author Fuminori.Nakamura @Version 1.00;3.Aug.2002
収束する無限等比数列の和を三角形を分割した面積の和とみて視覚的に表現することを考えて見ましょう。
指数と対数の関係のちょっとした小手技
@Author Fuminori.Nakamura @Version 1.00;3.Aug.2002
指数とは何者なのでしょう？ 対数の便利性から指数の基本的な性質をもっと見直す必要があるのではないだろうか。
Let's Dance Bodypara
@Author Fuminori.Nakamura @Version 1.00;3.Aug.2002
放物線を体を用いて表現させてみよう。体で放物線を作ることで放物線の基本的な性質が色々と見えてきます。
三角関数の合成のちょっとした小手技
@Author Fuminori.Nakamura @Version 1.00;11.Jun.2002
三角比を円関数としての定義し、三角関数をcosから導入する。cosから導入することで、合成の公式が自然に導かれる。
剰余の定理のちょっとした小手技
@Author Fuminori.Nakamura @Version 1.00;15.Jun.2002
条件を変形することで余りを作り出すという直接的な解法を用いて剰余定理に関する問題を解いてみましょう。また「数文・和文翻訳」で問題の意味を数学言語で解釈し直しましょう。
正弦定理のちょっとした小手技
@Author Fuminori.Nakamura @Version 1.00;2.Feb.2002
正弦定理を「弦の長さの比は円周角の正弦の比に等しい」ととらえてみましょう。こうした場合、三角形ＡＢＣにおいては「ａ：ｂ：ｃ＝sinＡ：sinＢ：sinＣ」と表現する方が正弦の本質を表していると考えられる。
数学的帰納法のちょっとした小手技
@Author Fuminori.Nakamura @Version 1.00;2.Feb.2002
数学的帰納法には、いろいろなパターンが考えられますが、いったいその本質はどこにあるのでしょう。具体例をもとに数学的帰納法の本質に迫ります。
Drポアロの挑戦
～数学と教育学の対話
@Author Fuminori.Nakamura @Version 2.00;2.Feb.2002
教育ってなに？ 数学ってなに？ 数学と教育学の間にある問題点をポアロとホームズが鋭く切り込みます。日常の中から育まれる教育観を文学部出身の筆者が柔らかく問いかけるシリーズ完結編。
コーシーの不等式のちょっとした小手技
@Author Fuminori.Nakamura @Version 1.00;1.Nov.2001
最大・最小問題を始めとして多岐の分野で活躍する「コーシーの不等式」。相加・相乗平均では単純に変数を増やしていっても、次元として無限に対応していく。このコーシーの不等式にスポットを当てて見ましょう。
線分の切り方を学ぶ！！
@Author Fuminori.Nakamura @Version 1.00;1.Nov.2001
輪ゴムとクリップを用いて重心が２：１の比に中線を内分していることを確認してみよう。また「ジェラシー大作戦」を輪ゴムとクリップを用いてメイクってみよう。
カモメを飛ばそう
@Author Fuminori.Nakamura @Version 1.00;1.Nov.2001
２次関数のグラフを「カモメの編隊飛行」に見立てて、視覚化してみよう。また、“カモパラ”を用いてで２次不等式をメイクってみよう。
絶対不等式のちょっとした小手技
@Author Fuminori.Nakamura @Version 1.00;1.Nov.2001
等式に恒等式と方程式の２種類があるのと同様に、不等式にも条件不等式と絶対不等式があります。絶対不等式の中で一番エライ不等式ってなんだろう。
不等式の拡張のちょっとした小手技
@Author Fuminori.Nakamura @Version 1.00;1.Nov.2001
授業では扱いにくい不等式の証明。絶対不等式のコーシーの不等式、チェビシェフの不等式を変数の個数(次元)で拡張していきましょう。
楕円と直線の関係のちょっとした小手技
@Author Fuminori.Nakamura @Version 1.00;16.Jun.2001
楕円に関する問題はその補助円を考え、円特有の性質を使えば簡単に求めらることができます。楕円に関する様々な問題を補助円を用いて考えてみましょう。
放物線で囲まれる面積のちょっとした小手技
@Author Fuminori.Nakamura @Version 1.00;16.Jun.2001
図形を変換することによって、2つの図形で囲まれる部分の面積を簡単に計算することができます。
絶対値自動車を走らせる！
@Author Fuminori.Nakamura @Version 1.00;16.Jun.2001
興具として利用するのは厚紙を切り抜いて作る、自動車と家、そして輪ゴム。輪ゴムの伸び縮みで不等式を表現し、また変数を車で表します。変化する点、変化しない点をそれぞれ家と車で置き換えことで理解がスムーズに進みます。
ドメインUFOを飛ばそう！
@Author Fuminori.Nakamura @Version 1.00;16.Jun.2001
興具として利用するのは１本の棒(割り箸、鉛筆、何でもよい)。区間自体を棒と考え、棒の動きを見ているだけで、グラフとの接触を容易に判断できるようになります。
Black_letterをだそう！
@Author Fuminori.Nakamura @Version 1.00;16.Jun.2001
興具として利用するのは「使い古し」の手紙。ブラック・ボックスをコンパクト化して、関数の意味を考えてみます。手でビリビリと破って、関数の出口(値域)を開いて(探して)みましょう。
位置ベクトルの始点の小手技
@Author Fuminori.Nakamura @Version 1.00;2.Dec.2000
位置ベクトルに関するメネラウス型の問題を、各頂点におもりを加えるという単純な操作で解いて見ましょう。計算式をはぶいて、バランスの美しさを楽しんでください。
切頭円柱の体積の小手技
@Author Fuminori.Nakamura @Version 1.00;2.Dec.2000
切頭円柱はスライスの仕方によって、様々な図形に切り分けられ、そこから体積の指導のいろいろな場面がフィードバックできます。
放物線の切片形の小手技
@Author Fuminori.Nakamura @Version 1.00;2.Dec.2000
２次関数の決定問題を解く問題の中では、２次関数の三態を使い分けます。この中でも特に、３点を通る問題についてｘ座標の意味に拘ってみましょう。
対数による桁数問題の小手技
@Author Fuminori.Nakamura @Version 1.00;2.Dec.2000
桁数問題のうちでも「最高位の数は何か」、「小数第何位に初めて０以外のどんな数が現われるか」といった問題を考えてみよう。
集合による人数計算の小手技
@Author Fuminori.Nakamura @Version 1.00;2.Dec.2000
集合における人数計算の問題をカードを使って考えてみましょう。
等差数列のちょっとした小手技
@Author Fuminori.Nakamura @Version 1.00;5.Aug.2000
等差数列がnの１次式で表されるということに注目し、“公差”を中心とした等差数列の指導を考える。
十進ＢＡＳＩＣによる変換からみた複素数指導の一例 (Japanese) (English)
@Author Fuminori.Nakamura @Version 1.00;10.Aug.2000
十進BASICは、symple,speedy,sophisticatedなプログラム言語です。その機能を用いて、高校現場における複素平面の指導における効果的利用について考える。
Deciaml BASIC in ICME9
@Author Masasi.Sanae,Fuminori.Nakamura @Version 1.00;10.Aug.2000
幕張で開催された第9回数学教育世界会議 ICME9 における、十進BASICをテーマとした展示会での作品を集めました。
四角形のへそ
@Author Fuminori.Nakamura @Version 1.00:17.Jun.2000
四角形の重心ってどこなの？ 多角形の理論上の重心と実測としての重心の違いについて、様々な角度から考える。
四角形の重心のちょっとした誤手技
@Author Fuminori.Nakamura @Version 1.00;10.Mar.2000
四角形の重心はどうやって求めるのか。バランスメソッドを用いて重心について考える。
メービウスのしっぽ
～Complex operator による図形変換～
@Author Fuminori.Nakamura @Version 1.00;4.Dec.1999
f:z→zpのベキ変換によって半径１の円や座標平面全体の変換はどうなるのか。十進BASICを用いて複素数平面の神秘性について追求する。
階差数列のちょっとした小手技
@Author Fuminori.Nakamura @Version 1.00;4.Dec.1999
一般項がどうなるのか与えておいて階差数列を導入。階差数列の指導法を別な観点から考える。
部分分数分解のちょっとした小手技
@Author Fuminori.Nakamura @Version 1.00;4.Dec.1999
部分分数に分解するときに、分子に出てくる数はどうやって出すの？ カードゲームのような感覚で、部分分数への分解を工夫してみよう。
組合せのちょっとした小手技
@Author Fuminori.Nakamura @Version 1.00;4.Dec.1999
男３人、女２人の５人の中から２人選ぶとき、少なくとも１人女子が含まれる場合の数。複数選ぶ場合において重複なく数える方法について考える。
∑ｋpの計算のちょっとした小手技
@Author Fuminori.Nakamura @Version 1.00;4.Dec.1999
式を変形することで数列のべき和の問題を簡単に考えていく。整式の割り算で商と余りを求めるホーナー法で式変形もラクラク。
メービウスのわだち
～Complex operator による図形変換～
@Author Fuminori.Nakamura @Version 1.00;7.Aug.1999
無限がゼロに繋がる。べきと反転という初等幾何の手法を用いて、複素変換の神秘的な魅力を私たちに教えてくれます。「啓林 高数編 No.318」(1999秋季号)に掲載される。
剰余類のちょっとした小手技
@Author Fuminori.Nakamura @Version 1.00;5.Jun.1999
ｍ(２≦ｍ≦ｋ)の倍数であるかどうかを示すのに、剰余系を考えるのではなく、連続するｋ個の整数の積はｋ！で割りきれる性質を利用する。
点と直線の距離のちょっとした小手技
@Author Fuminori.Nakamura @Version 1.00;5.Jun.1999
点と直線の距離の公式を、三角比のもつ性質が座標上でどう表現されるかという、その結びつきから指導する。
変身多角形のスリムメタモルフォーゼ
@Author Fauminori.Nakamura @Version 1.00;17.May.1999
平面図形が、基底の変換により新世界の新図にどう移されるかは、高校数学からは消えようとしているビジュアルな想像力を喚起する。一次変換を表す行列の各成分がもつ、変換としての働きに注目して新世界を調べてみよう。
交わらない2円の交点を通る直線の存在
@Author Tuneharu.Okabe,Fuminori.Nakamuraura
@Version 1.00;16.Jan.1998
ShadowLineの問題を幾何的な側面と解析的な側面の両方から考える。「数学セミナー」1999年2月号に収録されたものを編集。
正弦・余弦定理のちょっとした小手技
@Author Fuminori.Nakamura @Version 1.00;16.Jan.1999
三角形を解く問題において解法の仕方の問題点はないのか? 正弦定理＋余弦定理＝加法定理？ 第１余弦定理をkey-wordとした、スムーズな流れの指導の組立てを考えます。
群数列のちょっとした小手技
@Author Fuminori.Nakamura @Version 1.00;1.Nov.1998
原数列が等差数列の場合における仕切りの入れ方と、群数列との関係を考えます。
隣接二項漸化式のちょっとした小手技2
@Author Fuminori.Nakamura @Version 1.00;1.Nov.1998
隣接二項漸化式を特性方程式を発展させて解法するときの、ちょっとした小手技を考えます。
数列{n・2n-1}の和のちょっとした小手技
@Author Fuminori.Nakamura @Version 1.00;1.Nov.1998
等差・等比数列の積で作られるmarriage数列。その和を求めるための指導法を考える。
絶対値不等式のちょっとした小手技
@Author Fuminori.Nakamura @Version 1.00;1.Aug.1998
絶対値の入った不等式｜x－1｜≧2x＋3を x－1≦－(2x＋3)、2x＋3≦x－1 と直接解いていいの？ そんな「まなぶ法」はどこまで、認められるでしょうか。
隣接二項漸化式のちょっとした小手技
@Author Fuminori.Nakamura @Version 1.00;1.Aug.1998
「バランスをとる」ことを大事にして、ｎ次式を含む二項漸化式を解いてみよう。
実数条件のちょっとした小手技
@Author Fuminori.Nakamura @Version 1.00;1.Aug.1998
判別式を使った問題を例に、実数条件についてのちょっとした指導法を考える。
二項係数のちょっとした小手技
@Author Fuminori.Nakamura @Version 1.00;1.Aug.1998
現教育課程の中におけるオプション分野にコアを調達するのはなかなか大変。そんなとき、さり気なくものぐさにエッセンスだけを提供することも必要。
二次関数の最大最小問題のちょっとした小手技
@Author Fuminori.Nakamura @Version 1.00;1.Aug.1998
2次関数のグラフの対称性を利用した最大最小問題の解法。発想を転換して、ちょっと視線を変えてとらえてみよう。
二次不等式の解のちょっとした小手技
@Author Fuminori.Nakamura @Version 1.00;1.Aug.1998
水平線を飛ぶかもめのイメージをもとに、2次不等式の解に挑戦。
数学教育とネットワーク型教材データベース
－数実研の活動とネットワーク上での公開から－
@Author Mituru.Sugawara , Masasi.Sanae , Fuminori.Nakamura , Hirosi.Ohyama
@Version 1.10;7.Aug.1998
数実研のこれまでの活動とネットワーク上での公開までを、実例をもとに紹介。日数教山口大会の発表レポート。発表当日の様子を追加。
Shadow Line その存在性をめぐって
@Author Fuminori.Nakamura @Version 1.10;20.Jun.1998
２円の交点を通る問題から「円束問題」へと発展。影としての直線を与える「虚円」の存在を通して、虚空間の入り口を垣間見てみよう。Shadow LineへのPrologueを追加。
２次方程式の解のちょっとした小手技
@Author Fuminori.Nakamura @Version 1.10;20.Jun.1998
複素係数をもつ2次方程式に解の公式は使えるの？解と係数の関係は？好評の小手技シリーズ続編。
複素数平面のちょっとした小手業
@Author Fuminori.Nakamura @Version 1.00;10.Mar.1998
複素数計算における効率的な式の整理法、複素平面上における大局的図形概念のイメージ法など、日常の授業における指導法を少し。
やすい！はやい！うまい！ グラフィックス調理法
@Author Fuminori.Nakamura @Version 1.10;10.Feb.1998
十進BASIC for Windows95を用いた教材開発。サンプルとして使用したソースファイルを添付（ダウンロード可）。
重複組合せの指導法について
@Author Fuminori.Nakamura @Version 1.10;6.Dec.1997
重複組み合わせの理解の方法を、様々な角度から考える。新たに経路問題として捉える「棒グラフ分配法」を追加。
友円数とその周辺
@Author Fuminori.Nakamura @Version 1.10;1.Nov.1997
特異で、神秘性を秘めた数に関する様々な話題の中から、主として友円数に焦点をあてて、その特徴を探る。
分数関数（双曲線）の逆関数の求め方
～グラフの性質を意識させた学習指導例～
@Author Fuminori.Nakamura @Version 1.00;1.Nov.1997
分数関数の一般型から標準形への変換を単なる変形ではなく、グラフの性質を意識させた指導を通して定着させる。
数学言語としての場合の数の読解について
@Author Fuminori.Nakamura @Version 1.00;1.Nov.1997
数学なる言語学の立場に立って、場合の数を組合わせから導入する方法を、指導の一事例として考察してみる。
仮想会議におけるShadow Lineの存在性をめぐって
@Author Fuminori.Nakamura @Version 1.00;9.Oct.1997
“仮想会議”における「2円の交点の通る直線問題」のやり取りの問題点を探ると同時に、新たに「仮想授業」を提案。
平方完成試行錯誤的指導
～譲れないものを譲らないために
@Author Fuminori.Nakamura @Version 1.00:21.June.1997
2次関数における平方完成の指導法をいろいろな観点から試みる。
べくとるのしてんをながめて
@Author Fuminori.Nakamura @Version 1.00;1.Feb.1997
ベクトルの終点を始点とみなして分点を溯っていく。「求点から分点を分解する」ことでベクトル方程式を別な観点から探っていく。
和関数としての２次関数のグラフ
@Author Fuminori.Nakamura @Version 1.00;28.Oct.1996
２次関数における一般形の各項の係数がグラフを生成する要素としてどう作用しているかを「和関数」の観点から考察してみよう。
数列のちょつとした小手業
@Author Fuminori.Nakamura @Version 1.00;28.Oct.1996
生徒と、そして黒板との格闘との毎日である授業は、時として、苦し紛れの小技を生み出すこともあります。数列に関するそんな話題を少し。
は一見するとスカラー量の絶対値の性質と同じですが、ベクトルではシュワ
ルツの不等式の等号成立であり、２つのベクトルの平行条件を表しています。これを利用し
て、垂線ベクトル(造語)を考え、平面上での点と直線の距離、空間内での点と平面の距離を
ヘッセの標準形により導きます。さらに点が平面によって分けられる空間の正領域、負領域
にあるための条件を示し、空間に図形をレイアウトしてみましょう。